Az 56 minden osztója közös osztója a három számnak, ezek: 56; 28; 14; 8; 7; 4; 2. Az a, b számok legnagyobb közös osztóját így jelöljük: ( a; b). Az előző példa alapján: (2352; 5544; 54 880) = 2 3 · 7 = 56. Ha prímszámok legnagyobb közös osztóját keressük, akkor az csak 1 lehet. Például: (5; 7) = 1, (5; 7; 11) = 1. Azonban nemcsak prímszámoknak lehet a legnagyobb közös osztója 1. Sem 24, sem 25 nem prímszám, mégis (24; 25) = 1, vagy (25; 28; 243) = 1. Ha két vagy több pozitív egész szám legnagyobb közös osztója 1, akkor azokat relatív prímszámoknak nevezzük. A legnagyobb közös osztó, illetve a legkisebb közös többszörös megkeresésére gyakran van szükségünk. ) 2. példa: Keressük meg 120; 693; 2352 legkisebb közös többszörösét! (Nyilvánvaló, hogy a három szám szorzata közös többszörös, de mi a legkisebb közös többszöröst keressük. ) A számok prímtényezős felbontása segít. 120 = 2 3 · 3 · 5, 693 = 3 2 · 7 · 11, 2352 = 2 4 · 3 · 7 2. Feladat: Kifejezések LNKO-ja 5. példa: Keressük meg a;; kifejezések legnagyobb közös osztóját!
Két vagy több pozitív egész szám legkisebb közös többszöröse. Definíció: Két vagy több pozitív egész szám legkisebb közös többszöröse az a legkisebb pozitív egész szám, amelynek az adott számok mindegyike osztója. Jelöléssel: [a, b, c]=d, ha d a legkisebb olyan pozitív egész, hogy d=a⋅m, d=b⋅l, és d=c⋅k, ahol a, b, c, d, l, m, k pozitív egész számok. Például: [63, 105, 252]=1260, mert 1260=63⋅20, 1260=105⋅12, 1260=252⋅5. A legkisebb közös többszörös előállítása: A legkisebb közös többszörösnek tartalmaznia kell a számokban előforduló prímtényezők mindegyikét. Ezért a legkisebb közös többszöröst is a számok prímtényezős felbontása alapján határozzuk meg. Legyen a =63=3⋅3⋅7=3 2 ⋅7 és b =105=3⋅5⋅7. A legkisebb közös többszörös: [a;b]=[63;105]= 3 2 ⋅5⋅7=315. Röviden: A számok prímtényezős felbontásaiból az összes prímtényezőt kiválasztjuk az előforduló legnagyobb hatványkitevővel, és ezeket a prímszámhatványokat összeszorozzuk. Alkalmazása: Például törtek közös nevezőre hozásánál. Mennyi \( \frac{5}{63} \) + \( \frac{2}{105} \)?
-juk a=b), majd az osztási maradékkal b -t, és így tovább, akkor az utolsó nem nulla maradék maga az lnko lesz. [2] Példa: lnko(84, 18) =? Ekkor elosztjuk 84-et 18-cal a hányados 4, a maradék 12 elosztjuk 18-at 12-vel a hányados 1, a maradék 6 elosztjuk 12-t 6-tal a hányados 2, a maradék 0, azaz itt megállt az algoritmus, nincs következő lépés, mivel 0-val nem lehet osztani. Tehát az utolsó nem nulla maradék a 6, azaz lnko(84, 18) = 6. Ha a és b közül egyik se nulla, akkor felhasználva a legkisebb közös többszörösüket, ami jelölésben az lkkt( a, b): Tulajdonságai [ szerkesztés] Az a és b számok bármely közös osztója osztója az lnko (a, b) -nek is. lnko (a, b) = lnko (b, a) lnko (a, a) = a c ·lnko (a, b) = lnko (c·a, c·b) (tetszőleges c számra) lnko (a, b) = lnko (a+bc, b) lnko (a, b) = a, akkor és csak akkor, ha a|b, azaz a osztója b -nek ha lnko (a, b) = 1 és lnko (a, c) = 1, akkor lnko (a, b·c) = 1 ha a|b·c és lnko (a, b) = 1, akkor a|c Absztrakt algebra [ szerkesztés] Gyűrűk [ szerkesztés] Az egész számok gyűrűjében egy adott a számmal osztható számok ideált alkotnak, mivel két ilyen összege szintén osztható a -val, és egy ilyen számot egész számmal szorozva szintén a -val osztható számot kapunk.
Mivel [63, 105]=315, ezért \( \frac{5⋅5}{5⋅63} \) + \( \frac{2⋅3}{3⋅105} \) = \( \frac{25}{315} \) + \( \frac{6}{315} \) = \( \frac{31}{315} \). Jó tudni, hogy két szám legnagyobb közös osztójának és legkisebb közös többszörösének szorzata megegyezik a két szám szorzatával. Azaz (a, b)⋅[a, b]=a⋅b. Például: (252, 630)=126, [252, 630]=1260, és 126⋅1260=158760=252⋅630. Feladat: Melyik az a legkisebb természetes szám, amelyik 2-vel osztva 1, 3-mal osztva 2, 4-gyel osztva 3 és 5-tel osztva 4 maradékot ad? (Összefoglaló feladatgyűjtemény 3937. feladat. ) Megoldás: Vegyük észre, hogy minden esetben a maradék 1-gyel kevesebb, mint az osztó. Ez azt jelenti, hogy a keresett számnál 1-gyel nagyobb szám osztható 2-vel, 3-mal, 4-gyel és 5-tel is. Ezek a számok a 2, 3, 4, 5 többszörösei. Mivel a feladat a legkisebb ilyet kéri, ezért a keresett számnál eggyel nagyobb szám: [2;3;4;5]=60. Így a keresett szám: 60-1=59. Ellenőrzés: 59=2⋅29+1 59=3⋅19+2 59=4⋅14+3 59=5⋅11+4
Abból ki tudsz indulni a legnagyobb közös osztó meghatározásához, hogy minden szám osztható 1-gyel és önmagával. A 10 osztható 1-gyel és 10-zel, a 60 pedig szintén osztható 1-gyel, de 60-nal is. Elsőként soroljuk fel egyenként az összes osztót, hogy kiderüljön, melyik a legnagyobb közös osztó! Láthatod, hogy a 10 és a 60 is osztható 1-gyel, 2-vel, 5-tel, 10-zel. Ezek közül a legnagyobb a 10, ezért ez lesz a két szám legnagyobb közös osztója. A prímszám fogalma A legnagyobb közös osztó megtalálása az előbbi módszerrel elég sokáig tartana nagy számok esetében. Ahhoz, hogy a legnagyobb közös osztót gyorsan ki tudd találni, elsőként meg kell ismernünk a prímszámokat. Prímszám nak azokat a számokat nevezzük, amelyeknek kizárólag két osztójuk van, azaz csak 1-gyel és önmagukkal oszthatók. A prímszám a prím és a szám szavakból tevődik össze. A prím szó a prímszám egy másik elnevezése, eredetileg azt jelentette, hogy elsődleges, első, előtt. Néhány prímszám: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47.
Az 1 nem prímszám, mert nincs két osztója. A 4 sem prímszám, mert osztható 1-gyel, 2-vel és 4-gyel is. A legnagyobb közös osztó meghatározása gyorsabb módszerrel A prímszámok azért fontosak a legnagyobb közös osztó meghatározásához, mert ennél a gyorsabb módszernél azt nézzük meg, hogy az adott számok melyik prímszámmal, és hányszor oszthatók. Ezt hívjuk prímtényezős felbontás nak. (A szorzásnál azokat a számokat nevezzük tényezőknek, amelyeket összeszorzunk. Például: 2∙2=4, a 2-esek a tényezők. ) A legnagyobb közös osztó meghatározását és a prímtényezős felbontást tovább tudod gyorsítani, ha ismered az oszthatósági szabályokat. Nézzünk erre egy példát! Határozzuk meg ezzel a módszerrel a 10 és a 60 legnagyobb közös osztóját! A következő lépéseken haladunk végig: Lépés a legnagyobb közös osztó meghatározásához Úgy kezdjük el, hogy felírjuk a számokat, húzunk mindkettő mellé egy függőleges vonalat. Ezzel sokkal átláthatóbb lesz. A vonal másik oldalára odaírjuk azt a prímszámot, amelyikkel osztani szeretnénk.
A törtes egyenletek általában jelentős fejtörést okoznak. Ha megérted az egyenletek alapvető összefüggéseit és elsajátítod a törtekkel elvégezhető műveleteket, akkor a törtes egyenletek megoldása is könnyebbé válik. Valójában a legegyszerűbb egyenletekhez képest a törtes egyenletek alig tartalmaznak újdonságot, elegendő néhány trükköt alkalmazni. Mit kell tudnod a törtes egyenletek sikeres megoldásához? Amint fent már leírtam, a törtes egyenletek megoldása nem sokban különbözik az egyszerűbb egyenletekétől. Nézzük meg átfogóan, hogyan kell megoldani egy törtes egyenletet: Mérlegelv: a törtes egyenletekre is igaz, hogy az egyenlőségjel mindkét oldala egyenlő, ezért úgy rendezzük az egyenleteket, hogy mindkét oldal egyformán változzon. Az egyenletek ismertetésénél részletesen olvashatod, hogyan rendezzük az egyenleteket. Hogyan kell egyenletet megoldani 2019. Műveletek törtekkel: ahhoz, hogy hibátlanul tudd megoldani a törtes egyenleteket, a következő törtes műveleteket fontos ismerned: Törtek közös nevezőre hozása Törtek bővítése Törtek egyszerűsítése Törtek összeadása Törtek kivonása Tört szorzása egész számmal Tört szorzása törttel Tört osztása egész számmal Egész szám vagy tört osztása törttel Közös nevező: a törtes egyenletek megoldásának első lépései között szerepel, hogy az egyenletben szereplő törteket közös nevezőre hozzuk.
És a legegyszerűbb egyenletekben ezt egy lépésben lehet elvégezni. Ezért hívják őket protozoáknak. Például meg kell oldanunk a következő egyenletet: log5x = log52. Ehhez nem szükséges speciális tudás. Ebben a példában meg kell szabadulnunk azoktól a logaritmusoktól, amelyek elrontják az egész képet. A logaritmusokat eltávolítjuk és megkapjuk: x = 2. Így a jövőben szükség esetén fel kell számolni a szükségtelen logaritmusokat. Végül is ez a szekvencia lehetővé teszi a logaritmikus egyenlőtlenségek és egyenletek megoldását. A matematikában ezeket az akciókat általában potenciálnak nevezik. De a logaritmusok ilyen megszüntetése saját szabályokkal rendelkezik. Ha a logaritmusoknak nincsenek koefficienseik (vagyis önmagukban adják meg), és ugyanazon numerikus bázissal is, akkor a logaritmusok eltávolíthatók. Hogyan kell megoldani az alábbi feladatokat? - Határozza meg annak a körnek az egyenletét,amely koncentrikus a 4x2 + 4y2 - 28x +44y -86 = 0 Egyenletű körrel és a sug.... Ne feledje, miután megszüntettük a logaritmusokat, van egy egyszerűsített egyenletünk. Vegyünk egy másik példát: log9 (5x-4) -log9x. Potentiruem és kapunk: 5x-4 = x 5x = x + 4 4x = 4 x = 1 Amint látjuk, a logaritmusok törlésével megszokottuk a megszokottategy olyan egyenlet, amely már nem oldható meg nehézségekkel.