Ebből következik, hogy az ACD háromszög derékszögű, amelynek átfogóhoz tartozó magassága a kör sugara (r) mértani közepe az átfogó (a trapéz AD szára) két szeletének. Eszerint: r 2 =ab. Ezt 4-gyel szorozva (2r) 2 =2a⋅2b. Ez éppen az állítás, hiszen 2r=m. Feladat: Igazolja, hogy ha egy szimmetrikus trapéz magassága mértani közepe az alapoknak (párhuzamos oldalaknak), akkor a trapéz érintőnégyszög! (Összefoglaló feladatgyűjtemény 1959. feladat. Egy szimmetrikus trapéz alapjai 18 cm és 12 cm, magassága 5 cm. Megforgatjuk a.... ) Megjegyzés: Ez a fenti állítás megfordítása. Megoldás: Az ABCD szimmetrikus trapéz magasságát a C csúcsból meghúzva, kapjuk az MBC derékszögű háromszöget. Írjuk fel rá a Pitagorasz tételt: m 2 =b 2 -(a-c) 2 /4. A feladat feltétele szerint m 2 =ac, ezért ezt az összefüggést a következő alakba írhatjuk: ac+(a 2 -2ac+c 2)/4=b 2. Közös nevezőre hozás után: [(a+c)/2] 2 =b 2. Mindkét oldalból négyzetgyököt vonva és 2-vel átszorozva: a+c=2b. Ez éppen azt jelenti, hogy a szemközti oldalak hosszainak összege egyenlő, tehát a szimmetrikus trapéz ebben az esetben érintőnégyszög.
Úgy tűnik, senki sem mer nekivágni ennek a "nehéz" feladatnak. Azért fussunk neki, lássuk mire megyünk. :-) Mit tudunk? Adott egy szimmetrikus trapéz a = 20 cm - a hosszabbik alap m = 11 - a trapéz magassága ß = 110° - a rövidebb alapon fekvő szögek Mit keresünk? c =? - a rövidebb alap b =? - a trapéz szára K =? Okostankönyv. - a trapéz kerülete T =? - a trapéz területe α =? - a hosszabbik alapon fekvő szögek A legegyszerűbb a szögeket elintézni Mivel az egy száron fekvő szögek összege 180°, azaz α + ß = 180° ezért α = 180 - 110 α = 70° Szimmetrikus idomról lévén szó, a hosszabbik alapon fekvő mindkét szög ekkora. Most pedig jön egy merész egy húzás... A rövidebb alap és az egyik szár metszéspontjából merőlegest húzunk a hosszabbik alapra, így kapunk egy olyan derékszögű háromszöget, melynek átfogója a trapéz szára, a hosszabbik befogója a trapéz magassága, a rövidebb befogó pedig a két alap különbségének fele, ez legyen d = (a - c)/2, és a hosszabbik befogóval szemközti szög α. Ebben a háromszögben minden megvan a megoldáshoz!
Kapsz a trapéz egyik oldalában egy derékszögű háromszöget, melynek egyik befogója a trapéz magassága (tehát ötös centi), és az azzal szemben lévő szög a 30 fok. Innen szinusszal kifejezheted az átfogót (sin 30°=5/c, ha c az átfogó), majd pl. Pitagorasz tétellel a másik befogót (5^2+b^2=c^2 ha b a másik befogód- a c-t ekkorra már tudod). A kerülete pedig 4+4+2b+2c, az előzőekből megvan. Most úgy tűnik, trigonometriát tanultok. Ilyenkor mindig derékszögű háromszögeket kell keresni, majd a MEGTANULT szögfüggvényeket (sin, cos, tg) alkalmazni! Az érintőnégyszögek tétele | Matekarcok. Sok sikert! Írj, ha nem megy;) Üdv:)
Legyen adott az ABCD négyszög, amelyre teljesül, hogy a szemközti oldalainak összege egyenlő. A mellékelt ábra jelöléseivel: AB+CD=BC+AD. Minden konvex négyszögbe lehet olyan kört szerkeszteni, amely érinti három oldalegyenesét. Tételezzük fel, hogy az ABCD négyszög nem paralelogramma, azaz van két nem párhuzamos oldala. Legyen ez a mellékelt ábra szerint az AD és BC oldal. Az A és B csúcsok szögfelezői kimetszik azt az O pontot, amely körül biztosan húzható olyan kör, amelyik érinti az AB, BC és az AD oldalakat. Indirekt módon fogjuk bizonyítani a tétel megfordítását! Tegyük fel, hogy ez az O középpontú kör nem érinti a negyedik DC oldalt. Ekkor két lehetőség van: DC oldal vagy metszi a kört, vagy a körön kívül halad. Mindkét esetben lehet húzni a DC oldallal egy D'C' párhuzamost, amely érinti a kört. Szimmetrikus trapéz magassága szomszéd. Az eredeti négyszögről, feltételeztük, hogy szemközti oldalainak összege AB+CD=BC+AD. Az új ABC'D' érintőnégyszög és az eredeti ABCD négyszög oldalait vizsgálva, megállapíthatjuk a következő egyenlőtlenségeket: DC>D'C', hiszen az AD és BC szárak nem párhuzamosak, hanem összetartók.
Definíció: Azokat a konvex négyszögeket. amelynek oldalai egy körnek érintői, érintőnégyszögeknek nevezzük. Az érintőnégyszögek belsejébe érintő kört szerkeszthetünk. Belső szögeinek szögfelezői egy pontban, a beírt kör középpontjában metszik egymást. Tétel: Egy síknégyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha két-két szemközti oldalának összege egyenlő. A tétel két állítást tartalmaz: 1. Ha egy négyszög érintőnégyszög, akkor szemközti oldalainak összege egyenlő. 2. Ha egy négyszög szemközti oldalainak összege egyenlő, akkor az a négyszög érintőnégyszög. 1. Elsőként az első állítást bizonyítjuk. Ha egy négyszög érintőnégyszög, akkor szemközti oldalainak összege egyenlő. Tudjuk, hogy egy körhöz külső pontból húzott érintőszakaszok hossza egyenlő. Ezért a mellékelt ábra jelöléseit használva: AE=AH=a; BE=BF=b; CF=CG=c; DH=DG=d. Így: AD+BC=(a+d)+(b+c), AB+CD=(a+b)+(c+d) Tehát: AD+BC=AB+CD. Ezt kellett bizonyítani. 2. Szimmetrikus trapez magassága . Bebizonyítható a tétel megfordítása is: Ha egy négyszög szemközti oldalainak összege egyenlő, akkor az a négyszög érintőnégyszög, tehát van oldalait érintő kör.
Sajnos még nem érkezett válasz a kérdésre. Szimmetrikus trapéz magassága képlet. Te lehetsz az első, aki segít a kérdezőnek! Kapcsolódó kérdések: Minden jog fenntartva © 2022, GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik. Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!
A trapéz területének kiszámítása A trapéz párhuzamos oldalegyeneseinek a távolságát nevezzük a trapéz magasságának. A trapézt az egyik átlója két háromszögre vágja. Az ABC háromszög a oldalához tartozó, és az ADC háromszög c oldalához tartozó magasságot is berajzoltuk. Mindkét magasság a trapéz párhuzamos oldalainak a távolságát adja, így, röviden jelölhetjük m-mel.