A felülről nem korlátos monoton sorozatok a +∞-hez, az alulról nem korlátos és monoton csökkenő sorozatok pedig a -∞-hez tartanak (közelítenek). Az {a n} sorozat tart a végtelenhez (∞–hez), ha minden K számhoz létezik olyan N szám, hogy ha n > N, akkor an > K, illetve a n < K (Az a n sorozat a végtelenhez divergál. ) Ezt így jelöljük: \( \lim_{ n \to \infty}=+∞ \) illetve \( \lim_{ n \to \infty}=-∞ \) . Számtani sorozat kalkulator. Bolzano, Bernard
Ha egy korlátos sorozatnak egyetlen torlódási pontja van, akkor azt a torlódási pontot határértéknek nevezzük. A definícióban ugyanazt fogalmaztuk meg, amit a bevezető elnevezésben: a konvergenciához korlátosság és egyetlen torlódási pont létezése szükséges. (-1) n -ediken sorozatnak két torlódási pontja van: 1, ha n páros és -1, ha n páratlan. A különbség a számtani sorozat kalkulátor online. Bolzano – Weierstrass tétel: Korlátos sorozatnak mindig van legalább egy torlódási pontja. A bizonyítás alapgondolata: Ha az (a n) korlátos, akkor minden eleme két korlát, a k a és a K f között található. A két korlát által meghatározott intervallumot megfelezzük és azt a részt, amelyben a sorozatnak végtelen sok eleme van, újra felezzük és így tovább. A felezgetést (elvileg) "végtelenszer" megismételjük, ekkor a végtelen sok elemet tartalmazó intervallum ponttá zsugorodik, ez a torlódási pont. A Fibonacci sorozat nyilván felülről nem korlátos, de szigorúan monoton nő. Bármilyen nagy valós számnál is lesz nagyobb értékű tagja a sorozatnak Az ilyen típusú sorozatok ugyan divergensek, de azt mondjuk, hogy tart a végtelenhez.
Az is látható, hogy a sorozatnak minél magasabb sorszámú tagjait nézzük, azok "egyre közelebb" kerülnek a 3-hoz. A páratlan indexűek egyre kisebb mértékben kisebbek, mint 3, a páros indexűek egyre kisebb mértékben nagyobbak, mint 3. De a 3-as szám nem tagja a sorozatnak. Természetesen ezt a "egyre közelebb" kifejezést pontosan definiálni kell. Határérték fogalma Az "A számot az {an} sorozat határértékének nevezzük, ha bármely ε>0 számhoz (távolsághoz) található olyan N szám ( küszöbindex), hogy ha n>N, akkor |an-A|<ε ( Cauchy –féle definíció). Nézzük ezt az első példán. Azt sejtjük, hogy a sorozat egyre közelebb kerül az 1-hez, azaz a fent definíció szerint a sorozat határértéke az 1, vagyis A=1. Megadtunk az 1 környezetének egy 0, 3 sugarú intervallumát, azaz ε=0, 3. :: www.MATHS.hu :: - Matematika feladatok - Sorozatok, Sorozatok határértéke, konvergencia, konvergens, divergencia, divergens, algebra, nevezetes, véges, végtelen. Ha a sorozat 8. indexű tagját néztük, akkor |a 8 -1|=|1, 29-1|=0, 29<0, 3. Az is könnyen belátható, hogy ha az A=1 számnak az 0, 3-nál kisebb sugarú környezetét nézzük, akkor is lesz a sorozatnak – ugyan egy magasabb indexű – tagja, amelynek az eltérése az A=1 határértéktől még ettől az értéknél is kisebb.
Bevezető feladat Ábrázoljuk és jellemezzük korlátosság és monotonitás szempontjából az: \( a_{n}=\frac{n+1}{n-1} \) sorozatot! Megoldás A sorozat ábrázolása: A sorozat első néhány eleme: a 1 =-nincs értelmezve; a 2 =3; a 3 =2; a 4 =5/3; a 5 =6/4; a 6 =7/5; a 7 =8/6≈1, 33; a 8 =9/7≈1, 29; a 9 =10/8; a 10 =11/9;… A sorozat grafikonját a mellékelt animáció szemlélteti: Számsorozat fogalma A sorozat jellemzése Korlátosság: Mivel a sorozat számlálója mindig nagyobb, mint a nevező és mind a nevező mind a számláló pozitív, ezért biztosan állítható, hogy a sorozat minden tagja nagyobb, mint 1. Tehát alulról korlátos. Menete: A sorozat első néhány tagja azt sugallja, hogy a sorozat szigorúan monoton csökken. Ez természetesen algebrailag is igazolható: a n >a n+1. Azaz: \( \left\{\frac{n+1}{n-1} \right\}>\left\{\frac{(n+1)+1}{(n+1)-1} \right\} \) . Számtani sorozat kalkulátor. A jobb oldali törtben persze elvégezzük az összevonást, akkor \( \left\{\frac{n+1}{n-1} \right\}>\frac{n+2}{n} \) . A nevezőkkel átszorozva kapjuk a következő egyenlőtlenséget: n⋅(n+1)>(n+2)⋅(n-1).
Konvergens sorozatok határértéke monoton növekvő sorozat esetén a sorozat felső határa (suprémuma), monoton csökkenő sorozatok esetén a sorozat az alsó határa (infimuma). (Supremum: a legkisebb felső korlát; infimum: a legnagyobb alsó korlát). A {(-1) n} sorozatnak nincs határértéke. Minden páros indexű tagja =1; minden páratlan indexű tagja =-1. Mind a +1; mind a -1 "környezetében" végtelen sok (azonos értékű) tagja van a sorozatnak. Bár ennek a sorozatnak a +1 és a -1 számok tetszőleges kicsi környezetében is végtelen sok elem van, de végtelen sok elem marad ki akár a +1 és akár a -1 tetszőleges kicsi környezetéből. Ezért ennek a sorozatnak a +1 és a -1 pontok torlódási pontjai ( torlódási helyek). Készülj az érettségire: Számtani és mértani sorozatok. A " t " szám a sorozat torlódási pontja (torlódási helye), ha " t " bármilyen kis környezete a sorozat végtelen sok elemét tartalmazza. Tétel: Egy konvergens sorozatnak csak egy torlódási pontja lehet. A c n = 2 (konstans) sorozat konvergens, hiszen miden tagja =2, tehát a 2 bármilyen kicsi sugarú környezetébe esik a sorozat minden tagja és a határérték is = 2.
Tehát a sorozat 8. tagja már csak kb. 0, 29 századnyira tér el az 1-től. Ugyanakkor a sorozat 100. tagjának értéke a 100 =101/99≈1, 02. Ez már csak 0, 02 századnyira tér el az 1-től. Látható tehát, hogy a sorozat tagjai "egyre közelebb" kerülnek az 1-hez. Minél nagyobb sorszámú tagját nézzük a sorozatnak, a kapott érték egyre kisebb mértékben tér el az 1-től. Vizsgáljuk most meg monotonitás és korlátosság szempontjából a következő sorozatot! b n =3+(-1/2) n Először írjuk fel a sorozat első néhány elemét! b 1 =3-1/2=5/2; b 2 =3+1/4=13/4; b 3 =3-1/8=23/8; b 4 =3+1/16=49/16; b 5 =3-1/32; b 6 =3+1/32; b 7 =3+1/32.. Belátható, hogy a sorozat alulról is és felülről is korlátos. A sorozat legkisebb eleme a b 1, a legnagyobb eleme a b 2. Hiszen minden páratlan sorszámú elemnél egyre kisebb értéket levonunk 3-ból, míg minden páros sorszámú elem esetén egyre kisebb számot adunk hozzá a 3-hoz. Azaz k =b 1 =5/2=2, 5≤b n ≤b 2 =3, 25=49/16= K. A fentiekből az is következik, hogy minden páratlan sorszámú tag kisebb, mint 3, minden páros sorszámú tagja pedig nagyobb, mint 3, ezért ez a sorozat sem nem növekvő, sem nem csökkenő.
Elkészítési idő: 30 perc Nehézségi foka: egyszerű Árkategória: közepesen olcsó Pudingos gyümölcsleves hozzávalók: 1 db ananászkonzerv (darabolt) 1db barackbefőtt 1 db meggybefőtt 1 csomag vanillia puding por citrom lé fahéj szegfűszeg vanilliás cukor szerecsen dió kb. 1/2 l tej Pudingos gyümölcsleves elkészítése: Az összes gyümölcsöt levével együtt beletesszük egy lá hozzá szegfűszeget, fahéjat, kevés citromlevet és forrástól számított kb. 5 percig főzzük. Pudingos gyümölcsleves - süssünk-főzzünk.hu - Online Szakácskönyv, receptkönyv - Receptoldal. Addig a pudingport kilehet keverni egy kis tejjel illetve a vanilliás cukorral és a levesbe öntjük. Tejjel hígítom és a legvégén beleteszünk egy csippetnyi őrőlt szerecsendiót. Hűtve tejszínhabbal, illetve vanilliafagyival az igazi.
Hozzávalók: 1 db ananászkonzerv (darabolt) 1db barackbefőtt 1 db meggybefőtt 1 cs vanillia pudingpor citromlé fahéj szegfűszeg vanilliáscukor szerecsendió kb. 1/2 l tej Elkészítés: Az összes gyümölcsöt levével együtt beleöntöm egy lábosba. (A barackot kisebb kockára vágom). Teszek hozzá szegfűszeget, fahéjat / ez lehet egész, illetve őrölt is ízlés szerint /, kevés citromlevet és forrástól számított kb. 5 percig főzőm. Addig a pudingport kikeverem egy kis tejjel illetve a vanilliás cukorral és a levesbe öntöm. Tejjel hígítom és a legvégén beleteszek egy csippetnyi őrőlt szerecsendiót. Hűtve tejszínhabbal, illetve vanilliafagyival az igazi. Pudingos gyümölcsleves Recept képpel - Mindmegette.hu - Receptek. Kinek a kedvence ez a recept? favorite Kedvenc receptnek jelölés Kedvenc receptem Recept tipusa: Hideg levesek, report_problem Jogsértő tartalom bejelentése