diákoknak, tanároknak... és akit érdekel a matek... Hatvány fogalma pozitív egész kitevő esetén 2018-03-14 Ha egy szorzat azonos tényezőkből épül fel, azt rövidebben hatványalakban írjuk fel. Bár a matematikusok már a középkorban is használták a hatványozást, de a középkorban Descartes volt az, aki elkezdte a hatványkitevők használatát, és a⋅a helyett \( a^{2} \)-t írt. 7.A Hatványozás azonosságai (gyakorlás) - bergermateks Webseite!. Definíció: Az \( a^{n} \) olyan n tényezős szorzat, amelynek minden Tovább Hatvány fogalma egész kitevő esetén 1. Hatvány fogalma pozitív egész kitevőre. Ha a hatványozás kitevője pozitív egész szám, akkor a hatványozást egy olyan speciális szorzatként definiáltuk, amelyben a tényezők megegyeznek és a tényezők száma a hatványkitevő értékével egyezik, azaz \( a^{3}=a·a·a \). Ebből a definícióból következtek a hatványozás azonosságai. Ezek eredményeként is felvetődött az az igény, Tovább Hatvány fogalma racionális kitevő esetén Hatvány fogalmát pozitív egész kitevőre olyan szorzatként definiáltuk, amelyben a tényezők megegyeznek, azaz \( a^{3}=a·a·a \).
Ezek a szabályok lefedik a hatványozás összes kacifántosságát. Zárójelek használata: miben különbözik a (- 4) 3 és a – 4 3? Negatív hatványkitevő ( 5 -6) Tört hatványalap és egyéb huncutságok… És ezeket mind egyesével begyakorlod be, hogy ne zavarjon be a többi. 2. A hatványozás azonosságai Ha megvannak az alapok, akkor megnézzük, hogyan viselkednek a hatványok, amikor szorozzuk és osztjuk őket. Sőt, még azt is, amikor a hatványt emeled valahanyadik hatványra ( 4 3) 9 Bonyolultnak tűnik? Matematika Segítő: Hatványozás - alapismeretek. Ne aggódj, ha a könyvem szerint tanulod meg, megmutatom benne a logikát. Megnézzük milyen lehetőségeid vannak, amikor egy szám az alap ( 2 3), és azt is, amikor x az alap ( x 4) Hogyan szorzol és osztasz azonos ( 4 3 és 4 9) és különböző alapú hatványokat ( 3 8 és 4 8) 3. Összetett feladatok És ha már minden szabályt tudunk, és tudunk számolni is a hatványokkal, akkor belecsapunk a lecsóba, és megnézzük a legbonyolultabb feladatokat is, amik a középiskolában szembe jöhetnek. De vigyázz! Ez nem egy matematikus-képző e-book!
Így a két kifejezés egyenlő: \( c^{log_{c}a·log_{a}b}=c^{log_{c}b} \) . Mivel a hatványalapok egyenlők, ezért a hatványkifejezések csak úgy lehetnek egyenlők, ha a kitevők is egyenlők. Ezért: \( log_{c}a·log_{a}b=log_{c}b \). Ez a fenti állítás szorzat alakja. Most log c a -val átosztva kapjuk: \( log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a} \) . Feladat a negyedik azonosság alkalmazására. Fejezze ki y-t b, c, d segítségével, ha \( log_{b}y=3·\left( log_{b}c-log_{b^{2}}d \right) \) (Összefoglaló feladatgyűjtemény 475. ) Bontsuk fel a zárójelet, a zárójel előtt együtthatót a 3. azonosság alkalmazásával vigyük fel a kitevőbe: \( log_{b}y=log_{b}c^{3}-log_{b^{2}}d^{3} \) . A negyedik azonosság segítségével hozzuk azonos alapra a kifejezésben szereplő logaritmusokat: \( log_{b}y=log_{b}c^{3}-\frac{log_{b}d^{3}}{log_{b}b^{2}} \) . De az utolsó tagban a nevező a logaritmus definíciója szerint: \( log_{b}b^{2}=2 \) . Így: \( log_{b}y=log_{b}c^{3}-\frac{1}{2}·log_{b}b^{3} \) . Logaritmus azonosságai | Matekarcok. Az utolsó tagban az együtthatót a 4. azonosság alkalmazásával felvihetjük a kitevőbe: \( log_{b}y=log_{b}c^{3}-log_{b}b^{\frac{3}{2}} \) .
Itt a 10 megfelelő hatványainak a segítségével fejezzük ki a számokat Megszoktuk, hogy bizonyos nagy számoknak, 10 hatványainak nevük is van. Tekintsük át ezt egy táblázatban. \( 10^{6} \) Egy millió. \( 10^{9} \) Egy milliárd. \( Tovább Négyzetgyök fogalma 2018-03-13 A négyzetre emelés, azaz a hatványozás definíciója alapján: \( 5^{2}=5·5=25 \). Így egy 5 egység oldalú négyzet területe 25 területegység. Ha a feladat fordított és a négyzet területéből kell meghatározni a négyzet oldalát, akkor új műveletre, a négyzetgyökvonásra van szükség. Definíció: Egy nemnegatív valós szám négyzetgyöke az a nemnegatív valós Tovább N-edik gyök fogalma 2018-03-11 Egy 3 egység oldalú kocka térfogata \( 3^{3}=27 \). Ha a feladat fordított, és a kocka térfogatából kell meghatározni a kocka oldalát, akkor új műveletre, a köbgyökvonásra van szükség. Például: Mekkora a kocka éle, ha a térfogata 64 \( cm^{3} \)? Hatványozás azonosságai feladatok. Azaz \( 64=a^{3} \). Általában: Ha egy n-edik hatványérték Tovább Az n-edik gyökvonás azonosságai Az n-edik gyökvonás azonosságainál az n-edik gyök fogalmánál megfogalmazott feltételek az érvényesek.
Nem a bonyolultság a cél! Hanem olyan középiskolásoknak íródott, akik szeretnének többet tudni a hatványozásról. Az sem baj, ha még nagy a káosz a fejedben. Mivel az alapokról indulunk, minden ki fog tusztulni. 4. Ellenőrző feladatsor A végére szokás szerint tettem egy feladatsort, amivel leellenőrizheted a tudásod. Van benne minden, ami kell! 5. A feladatok megoldásai Minden gyakorló feladathoz elkészítettem egy levezetett megoldást. Hogy ne csak a végeredményt lásd, hanem minden apró lépést, amíg megkapod a végeredményt. Ha szülő, nagyszülő vagy: ez az e-book segíteni fog, hogy felelevenítsd a régen tanult hatványozást. Ha akkor sem értetted, nem vagy egyedül. A könyv akkor is segíteni fog megérteni, hogyan működik, és mire használható a hatványozás. Ezáltal hatékonyan tudsz segíteni a gyerkőcnek, és több időtök marad játékra. Ha diák vagy: önállóan meg fogod tudni tanulni a hatványozást, és bele tudod illeszteni a középiskolai tanulmányaidba. Ha továbbtanulsz, a könyv megalapozza a matematikának ezt a témakörét, amire főiskolán, egyetemen is biztos alapként építhetsz.
Azaz a, x, y pozitív valós számok, és a nem lehet 1. \( x=a^{log_{a}x} \) , \( y=a^{log_{a}y} \) illetve \( \frac{x}{y}=a^{log_{a}\frac{x}{y}} \) . Írjuk fel az \( \frac{x}{y} \) hányadost ebben a hatványkitevős alakjukban is! \( \frac{x}{y}=\frac{a^{log_{a}x}}{a^{log_{a}y}}=a^{log_{a}x-log_{a}y} \) Ebben a lépésben felhasználtuk azt a hatványozás azonosságot, hogy azonos alapú hatványok osztásakor a közös alapot a kitevők különbségére emeljük. Másrészt az \( \frac{x}{y} \) hányadost felírtuk a logaritmus definíciója segítségével is: \( \frac{x}{y}=a^{log_{a}\frac{x}{y}} \). Ezt azt jelenti, hogy \( a^{log_{a}x-log_{a}y}=a^{log_{a}\frac{x}{y}} \) Mivel ugyanazon a pozitív valós számok hatványai csak úgy lehetnek egyenlők, ha a kitevők egyenlők, ezért: \( log_{a}\left( \frac{x}{y} \right) =log_{a}x-log_{a}y \) 3. A harmadik azonosság szerint egy hatvány logaritmusa egyenlő az alap ugyanezen alapú logaritmusának és a hatványkitevőnek a szorzatával. Formulával: log a x k =k⋅log a x. Feltételek: a, x ∈ℝ +, a≠1, k∈ℝ.