Tipikus, internetes alkalmazása a weboldalak linkhálózatának feltérképezése is, amit többek között a Google keresőmotorja is felhasznál (azonban ennek pontos módját sajnos nem ismerjük). Mi a gráf? Nemes egyszerűséggel a gráfok olyan pontokból és azokat összekötő vonalakból álló alakzatok, melyek valamilyen információt hordoznak (ez nem a matematikai megfogalmazás, inkább csak a saját értelmezésem). Mire jó a gráfelmélet? A legegyszerűbb példa, melyet Oystein Ore- A gráfok és alkalmazásaik című könyvében találunk a következő: Az iskolai futballcsapat más iskolák csapataival együtt bajnokságon vesz részt. Matematika - 11. osztály | Sulinet Tudásbázis. Összesen hat csapat indul, mindegyiküket egy betűvel jelöljük, így lesznek A, B, C, D, E és F csapatok. A verseny első néhány hetében már néhányan játszottak egymással de még közel sem mindenki mindenkivel. A meccseket itt gráfokkal jelölhetjük. Gráf feladatok megoldással a) Értelmezd a Gráfot A fenti példában leírt állapotot tehát gráf segítségével követjük, ami így néz ki: Feladat! Írd le hogy melyik csapat kivel játszott már!
A tantárgy célkitűzése A ma már középiskolában, sőt általános iskolában is egyre többször előforduló kombinatorikus gondolkodásmód kialakítása sok feladat-megoldással. Irodalom Brunczel András, Elekes György: Véges matematika. ELTE jegyzet. Elekes György: Kombinatorika feladatgyűjtemény. Hajnal Péter: Elemi kombinatorikai feladatok. JATE Polygon Kiadó. Tematika Az első félévi anyag fontos részeinek ismétlése: szitaformula és változatai, különféle rekurziók. Minimax tételek: intervallum-rendszerekre vonatkozó feladatok. Páros gráfok és párosítások, Kőnig-Hall tétel és változatai. Grf feladatok megoldással. Kapcsolat páros gráf különféle paraméterei között (Gallai tételei). Tutte tétele párosítások létezéséről nem páros gráfban. Többszörös összefüggőség, (algoritmusok is). Hálózati folyamok. A Ford-Fulkerson tétel. A folyamprobléma általánosításai és alkalmazásai. A mélységi keresés és alkalmazásai. Lineáris rekurzióra vezető feladatok, állandó együtthatós lineáris rekurziók megoldása. Séták a rácspontokon, tükrözési elv, Catalan-számok (sor a pénztárnál), bolyongás.
A gráf fogalma Gráfnak nevezzük pontoknak és éleknek a halmazát, ahol az élek pontokat kötnek össze, illetve az élekre pontok illeszkednek úgy, hogy minden élre legalább egy, legfeljebb két pont illeszkedik. A gráfelmélet néhány alapfogalma Teljes gráfok A gráfok pontjait egyszerűen pontoknak nevezzük, de használatos a csúcspont (csúcs), szögpont elnevezés is. Ha egy élre két pont illeszkedik, akkor azt mondjuk, hogy az az él két pontot köt össze. Véges matematika2. Azt is mondjuk, hogy a P, Q pontok az e él végpontjai. Megtörténhet, hogy ugyanazt a P, Q pontot két vagy több él köti össze, akkor ezeket párhuzamos (vagy többszörös) éleknek nevezzük. Ha egy élre egy pont illeszkedik, azaz egy él végpontja azonos, akkor azt az élt hurokélnek nevezzük. Ha egy gráfban nincsenek párhuzamos élek és nincs hurokél, akkor azt egyszerű gráfnak nevezzük. Ha egy gráfnak mindegyik pontjából pontosan egy-egy él vezet a gráf összes többi pontjához, akkor azt teljes gráfnak nevezzük. Példák gráfokra
Ezzel Marcsinak és Borinak is megvan a 2-2 beszélgetése. Összesen 6 beszélgetést folytattak az ábra szerint. 2. megoldás: Ha összeadjuk az egy-egy lány által folytatott beszélgetések számát, akkor 4+3+2+2+1=12-t kapunk. Ez épp a kétszerese a beszélgetések számának, mert minden beszélgetést mind a két résztvevőnél számoltuk. Tehát a beszélgetések száma: 12/2=6. b) A beszélgetések gráfját hiába próbáljuk lerajzolni, nem sikerül. Be kell bizonyítani, hogy ez az eset valóban nem lehetséges. Ebben az esetben az egy-egy lány által folytatott beszélgetések számának összege 3+1+1+2+2=9. Minden beszélgetésben ketten vesznek részt, így a beszélgetések száma 9/2, ami nem egész szám, ezért ez az eset nem lehetséges, valaki rosszul emlékezett beszélgetései számára. Gráf pontjainak fokszám ának nevezzük a pontból induló élek számát. Minden gráfban a pontok fokszámának összege páros, az élek számának a kétszerese. A gráfban a fokszámok összege az élvégek számának összege. Gráfelmélet kedvcsináló kezdőknek | Nagyon Bödön Filmkritika Blog. Mivel minden élnek két vége van, a fokszámok összege az élek számának kétszerese, következésképpen a fokszámok összege páros.
A Ramsey-tételkör: Becslések Ramsey számokra: harmadfokú konstrukció klasszikus halmazrendszer-tételekkel; tetszőleges polinomiális konstrukció az általános (moduláris) tételekből. Euklideszi Ramsey tételek; a d dimenziós euklideszi egység-távolság gráfjának kromatikus száma exponenciális. Halmazrendszerek kombinatorikája: Klasszikus és lineáris algebrai módszerek. A Sperner tétel és a LYM egyenlőtlenség. Erdős-Ko-Rado tétel. A De Bruijn-Erdős tétel és a Fisher-egyenlőtlenség. Páratlanfalva tétele. A polinom-módszer: kettő-távolságú ponthalmazok, halmazrendszerek lefogása, l-metsző halmazrendszerek. Szabályos kombinatorikai struktúrák: véges projektív és affin síkok, Latin négyzetek.
A skatulyaelv és alkalmazásai kombinatorikai és geometriai feladatokban. Átlagolás, kettős leszámlálás. Binomiális együtthatók, azonosságok binomiális együtthatókra. Kitalálós játékok: a Barkochba és változatai, hamis pénz kitalálása. Módszerek lehetetlenség igazolására. Gráfok fogalma, hurokél, többszörös él, egyszerű gráfok. Pontok fokszáma és élek száma közti összefüggés, és alkalmazásai. Séták, vonalak, utak, körök és kapcsolatuk. Végtelen gráfok, Kőnig-lemma végtelen utakról. Összefüggő és nem összefüggő gráfok: komponensek. Fák és erdők, élszámuk meghatározása. Euler-vonal ill. körvonal létezésének szükséges és elégséges feltétele. Irányított gráfok, turnamentek, pszeudogyőztesek. Az Euler-tétel megfelelője irányított gráfokra. Hamilton-körök és Hamilton-utak, szükséges feltétel létezésükre. Elégséges feltétel(ek) Hamilton-körök és Hamilton-utak létezésére. Hamilton-út létezése turnamentekben. Körmérkőzések, a teljes gráf 1-faktorokra bontásai. Összefüggőségi és útkereső algoritmusok: szélességi bejárás, labirintus-bejárás.
Irányár: 210. 000, -Ft+áfa Szállításban tudok segíteni! Eladó román PP3-30 M (PP3) függesztett 3 fejes erősített kitűnő állapotú ágyeke - Agrárpiactér - Agrofórum Kühne 3 fejes eke - Kiskunmajsa, Bács-Kiskun 3 fejes kühne eke eladó film AgroPortál - Eladó új Helti Pluto váltvaforgató eke 2-3 fejes kivitelben Agrárkereső - Törölt hirdetés: Mezőgazdasági gép - Talajművelő gépek - Ekék - Váltvaforgató ekék: Rábewerk 3 fejes váltvaforgató eke - Eladó, Kínál 2 fejes KÜHNE eke 200. 000 Ft 25 m3-es rozsdamentes tartály 4. 500. 000 Ft 3 fejes KÜHNE eke 300. 000 Ft Agrofactrory ELO 2017 12m gyomfésű 2. 100. 000 Ft Claas Axion 850 18. 000. 000 Ft Claas Rollant 46 madzagos 1. 400. 000 Ft Dominoni 6 soros kukorica asztal - szállítókocsival 8. 200. 000 Ft Hardi Navigator Delta permetező 3000/24 10. 000 Ft Huniper permetező 3000/18 szuszpenzióhoz 900. 000 Ft IH 7, 2 nehéztárcsa 1. 000 Ft John Deere WTS9660 Hillmaster kombájn 19. 000 Ft KUHN Maxima 6 soros 3. 450. 000 Ft Malsa pótkocsi 9000 l-es tartállyal 4.
000 Ft 6 éve hirdető 2021. 08:29 ▪ Eke ▪ Csongrád Kühne KMF2-35 ágyeke 2 fejes függesztett 1995 évjárat, nagyon jó kopó alkatrészekkel eladó. Szállítás megoldható! Telefon: +36203839588 Kühne IH K 735 6V 6 fejes félig függesztett ágyeke 9 éve hirdető 2021. 22:22 ▪ Eke ▪ Csongrád Kühne K 735 6V 6 fejes félig függesztett ágyeke, 2005, hidraulikus fogásszélesség állítással, vontatáskor a traktor szélességében szállítható, kitűnő... Telefon: +36309488578 ÚJ LEKO 3 FEJES ÁGYEKE 35-ÖS KORMÁNYLEMEZZEL KÜHNE EKEFEJEKKEL - KÉSZLETRŐL 6 éve hirdető 2021. EUR 7. 031 inkl. 27% MwSt 5. 536 exkl. 27% MwSt Auf die Merkliste EUR 5. 830 4. 590 exkl. 27% MwSt Egyéb Új 3 fejes vátfaforgató eke 3 fejes bomet váltvaforgató eke Új 3 fejes bomet váltvaforgató eke eladó, rendelhető réselt kormámylemezzel is, előhntóval... Firma: AGRO-MAN EUR 5. 123 4. 034 exkl. 27% MwSt Egyéb 4 fejes eke új 4 fejes b váltvaforgató eke új eladó Ekefejtávolság:100 cm Hasmagasság:80 cm Gerendel... EUR 0 0 exkl. 27% MwSt EUR 6. 925 5.
15:32 ▪ Eke ▪ Pest Fordító tengely: E 90 Munkaszélesség(): 66-150 Tömeg(): 794 59/80 Vázmagasság(cm)2: 80 Ekefejek osztástávolsága(cm): 100 Ekeszár... LEMKEN VariOpal 5 Függesztett váltvaforgató eke 2 fejes 3 éve hirdető 2020. • Állapot: Új • Gépigény (Lóerő): 0-80 • Munkaszélesség (cm/sor): 25, 0 • Típus: Akpil 2009 es gyártású teljesen új 2 fejes Akpil 30 as eke eladó. A gép 5 éve a kereskedésünkben Raktáron 2 fejes IH eke • Állapot: Használt • Gépigény (Lóerő): 0-80 • Munkaszélesség (cm/sor): 80, 0 2 fejes IH eke aktív kínál Seregélyes 90. 000 Ft Agroinform Raktáron 115 000 Ft 3fejes Román ágyeke eladó cserélhető • Állapota: Használt • Besorolása: Szárazföldi • Értékesítés típusa: Eladó • Évjárat: 10 évnél öregebb • Jármű állapota: Normál • Üzemanyag: Egyéb meghajtású Román eke rábeverk kormánylemezekkel torok beforgatók terelő lemezek. Felcsukható... Használt 130 Ft 420 000 Ft 555000 Ft 4200000 Ft 5 334 000 Ft 850000 Ft Eke eladó • Értékesítés típusa: Eladó 3 fejes román ágyas eke eladó.
000 Ft nettó 11 éve hirdető 2020. 16:38 ▪ Eke ▪ Győr-Moson-Sopron újszerű állapotban, magasszárú, gerendavázas, nyírócsavaros, mélyszántó eke eladó Telefon: +36203146447 Wirax - 1 és 2 fejes kis ekék kis traktorokra, kedvező áron 9 éve hirdető 2020. 16:30 ▪ Eke ▪ Szabolcs-Szatmár-Bereg Új 1 és 2 fejes kis eke kis traktorokra(már 13 LE-től) kedvező áron! h i r d e t é s Törölt hirdetés Krone Mustang 2 fejes eke Rovat: Mezőgazdasági gép Csoport: Talajművelő gépek Főkategória: Ekék Kategória: Váltvaforgató ekék Gyártmány: Krone Típus: Mustang 2 fejes eke Műszaki állapot: Használt Gyártási év: 2000 350 000 HUF Hirdetés szövege: Krone Mustang 100/2, 2 fejes váltvaforgató eke jó állapotban eladó. 1 fejes kis eke: 85. 000 Ft + ÁFA 2 fejes kis eke: 100. 000 Ft + ÁFA EU adószámmal... Opall-Agri JUPITER II 120/100 eke 6 éve hirdető 2020. 16:13 ▪ Eke ▪ Komárom-Esztergom Eladó egy Opall Agri Jupiter II 120/100 3+0 eke Azonnal készletről! 06 20 824 4887 Egyedi Menci félpótkocsik:... Telefon: +36208244887 IH 10-720 7 vasú ágyeke 950.
526. 100 Ft 8 éve hirdető 2021. július 17. 04:47 ▪ Szárzúzó, mulcsozó ▪ Bács-Kiskun A kotrórakodókra szerelhető CAB-FA szárzúzó lehetővé teszi az alapos takarítást füves, bokros, cserjés területeken 10-15 cm átmérőig. A vágórendszer 24... Telefon: +36304487094 5 Belafer 120 cm-es erdészeti szárzúzó 20-35T forgókotrókhoz 4. 712. 320 Ft 8 éve hirdető 2021. 03:00 ▪ Szárzúzó, mulcsozó ▪ Bács-Kiskun A CAB-F kalapácsos szárzúzót ágak, fák zúzására, erdőterületek tisztítására tervezték. Különösen a fakitermelésből hátramaradt növények aprításához... 3 Belafer 180 cm-es erdészeti szárzúzó 17-25T forgókotrókhoz (fix fogas) 6. 451. 690 Ft 8 éve hirdető 2021. 02:34 ▪ Szárzúzó, mulcsozó ▪ Bács-Kiskun A FW fixfogas szárzúzót ágak, cserjék és favágás maradványainak aprítására tervezték. Különleges kalapácsokkal van ellátva, melyek rendkívül ellenálló és tartós... Krüger 5t-ás, állóhengeres szervestrágyaszóró 325.