50 + 51 + 52 + … + 100 =? 20 + 21 + 22 + … + 67 =? Ha maga az első n természetes szám összegére adott képlet nem is használható ezek kiszámításában, az ötlet ugyanúgy működik: első tag plusz utolsó tag, s az ilyen összegpárokból mindig fele annyi, ahány összeg-pár képezhető. A módszer azért működik, mert hátulról "egyenként haladva visszafelé", meg előről "egyenként haladva előrefelé" mindig eggyel csökken illetve eggyel nő az összeg. 3. feladat: lépjünk még egyet! A következő összegek kiszámításában is ugyanez az ötlet lesz a segítségünkre (megoldások a bejegyzés végén): 5 + 10 + 15 + 20 + … + 85 + 90 + 95 + 100 =? 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + … + 51 + 54 + 57 + 60 =? 20 + 24 + 28 + 32 + … + 52 + 56 + 60 =? Ha jobban megnézzük, az utolsó feladatban odáig jutottunk, hogy tetszőleges számtani sorozat első n tagját össze tudjuk adni ezzel az ötlettel. (Ha esetleg nem sikerült megbírkózni vele, akkor most megfogalmazzuk a receptet és azzal már vissza lehet térni rá. ) Gondoljuk ezt át! Vegyünk egy tetszőleges számtani sorozatot!
1. Egy cég bevétele az első évben 100 millió dollár volt, és azóta minden évben 20 millió dollárral nő. Mekkora lesz a bevétel a hatodik évben? Mekkora a cég árbevétele a hat év alatt összesen? Megnézem, hogyan kell megoldani 2. a) Egy cég bevétele az első évben 10 millió dollár volt, és azóta minden évben 20%-kal nő. Mekkora lesz a bevétel a hatodik évben? Mekkora a cég árbevétele a hat év alatt összesen? b) Egy sorozatról tudjuk, hogy $a_8=2$ és $a_7=162$. Mennyi $a_10$, ha számtani sorozatról van szó, illetve ha mértani sorozatról van szó. 3. Egy sorozatról tudjuk, hogy $a_8=2$ és $a_7=162$. Mennyi $a_10$, ha a) számtani sorozatról van szó. b) mértani sorozatról van szó. 4. Egy sorozatról tudjuk, hogy $a_1=-7$ és $a_8=896$. a) Mennyi az első 10 tag összege, ha számtani, illetve ha mértani sorozatról van szó? b) Mennyi a második 10 tag összege, ha számtani, illetve ha mértani sorozatról van szó? 5. Egy sorozatról tudjuk, hogy $a_1=5$ és $a_6=1215$. Mennyi lehet $n$ értéke, ha az első $n$ tag összege 5890-nél kisebb?
A számtani sorozat egy olyan számsorozat, amelyiknél bármely két szomszédos tag különbsége állandó. Pl. : 1, 3, 5,....., 11, 13, 15,... a 1, 2, 3,..., n − n, + 1,... A számtani sorozat n-ik tagja: a n = a a + ( n − 1) d a n = a n − 1 + a n + 1 2, n > 1 Az első n tag összege: S n = a 1 + a n 2 n = [ 2 a 1 + ( n − 1) d] n 2
Látható is, hogy az összeg-párok az 50 + 51 = 101 összegnél érnek össze. 1 + 2 + 3 + … + 50 + 51 + … + 98 + 99 + 100 Így a feladat kérdésére a válasz: 50·101 = 5050. A döbbent és büszke tanító reakciója erre az volt "Én már nem tudok neked mit tanítani. " (Ilyenek ezek a tanbák. :) 1. feladat: a történet ötletét a következő összegek kiszámításához használd fel (megoldások a bejegyzés végén): 1 + 2 + 3 + … + 40 1 + 2 + 3 + … + 67 Az eddigiekből megfogalmazható az első n darab természetes szám összege (bármilyen pozitív egész legyen is az n). Ugyanazt a gondolatot követve, mint ami a Gauss-féle megoldásban szerepel azt mondhatjuk, hogy az első és az utolsó szám összege 1 + n. A második és az utolsó előtti szám összege 2 + ( n – 1) = n + 1. A harmadik és hátulról a harmadik szám összege 3 + ( n – 2) = n + 1. … Összesen hány ilyen n + 1 nagyságú összeg-párt kell vennünk? Hát, n /2 darabot, a képletünk tehát az első n természetes szám összege 2. feladat: csavarjunk egyet az eddigieken! A Gauss-ötlet használható a következő összegek kiszámításánál is (megoldások a bejegyzés végén).
1 és 100 között 100 szám van és ebből elhagyjuk az első 49-et. ) [(20 + 67) · 48] / 2 = 2088 3. feladat: (105 · 20) / 2 = 1050 (63 · 20) / 2 = 630 (80 · 11) / 2 = 440 5. feladat: 130 · 3 + 2(130 · 129)/2 = 390 + (130 · 129) = 17160 8 ·36 + (-6) ·(36 · 35)/2 = 288 + (-3780) = -3492 24 · 11 + (-1/2)(24 · 23)/2 = 264 + (-138) = 126 300 · 56 + (1/5) · (56 · 55)/2 = 16800 + 308 = 17108 1 · 400 + 17 · (400 · 399)/2 = 400 + 1356600 = 1357000 a 1 = a 81 - 80 d = 213 - (80 · 3) = 213 - 240 = -27. Így S 100 = -27 · 100 + 3 ·(100 · 99)/2 = -2700 + 7425 = 4725 a 1 = 8, d = 8, S 30 = 30 · 8 + 8 · (30 · 29)/2 = 240 + 3480 = 3720 a 1 = 12, d = 6, az utolsó elem 96 (a következő 6-tal osztható szám már háromjegyű). Hanyadik hattal osztható szám ez? Jobb híjján számológépnyomogatással is kitalálható. De pl. ebből is: 96/6 = 16, tehát ez a 16-ik hattal osztható természetes szám. Azaz a feladat S 16 -ra kérdez rá, ami tehát 12 · 16 + 6(16 · 5)/2 = 192 + 240 = 432. A legfeljebb kétjegyű természetes számok közül az első, ami hárommal osztva 1 maradékot ad az 1, tehát a 1 = 1.
Életemben először láttam magamat szépnek, mert az az EGYség tudott megnyilvánulni kifelé is, amit belül érzek önmagammal kapcsolatban, és ezért nagyon hálás vagyok neki! A mosolyával, őszinteségével, tisztaságával már a honlapján elvarázsolt és a hatást csak fokozta a fotózás hangulata! Szép emlék lett számomra a találkozás is vele! Ezt az élményt kívánom szeretettel mindenkinek, aki megkeresi Őt a jövőben! " "5+1 csillagot adnék Beának, ha lehetne. :) Az első perctől kezdve megvolt köztünk az összhang és a fotózás végéig nagyon jó hangulatban telt a közös munka. A lágy háttérzenével oldotta a "feszültséget" és ötleteivel is sokat segített nekünk. Életünk legjobb fotózása volt! Nyugodt szívvel ajánlom bárkinek és szerintem mi is találkozunk még egy következő alkalommal! :) Csak így tovább, Bea! " "Nagyon szépen köszönjük azt a rengeteg időt, energiát amit Ránk szántál. Családi szabadtéri fotózás - Gyermekfotózás. Már a fotózás alkalmával éreztük, hogy kreatívan, ránk figyelve és semmiképp sem mesterkélten igyekeztél megörökíteni a pillanatokat.
A közös időtöltés az egyik legjobb dolog a világon! Szeretem megragadni a család varázsát, egyediségét, legyen az akár játékos vagy egy komoly pillanat. A szabadtéri fotózások tökéletes lehetőséget adnak arra, hogy az élénk, izgő-mozgó gyermekeket is megörökítsem, ahogy felfedező üzemmódban rácsodálkoznak dolgokra, hiszen olyan gyorsan felnőnek! Családi fotózás, családi képek készítése Budapesten | Portréfotósok.hu. Friss levegő, rózsás orcák és hatalmas mosolyok… Az így kapott képek tökéletesen tükrözik a család igazi stílusát. A helyszín kiválasztása során az évszaknak megfelelően lehet szó a Budai várról, egy levendulás vagy pipacsos mezőről, a Duna-partról, Margit-szigetről, de akár a saját otthonod kertje is tökéletesen megfelelő lehet, vagy bízhatsz bevált helyszíneimben is! A titok nyitja mindig abban rejlik, hogy a kültéri fotózás nem csak egy egyszerű fényképkészítési folyamat, hanem egy olyan különleges családi program, ahol a nagyoktól kezdve a legkisebbekig mindenki jól érezheti és mozdulataival, gesztusaival egyben ki is fejezheti magát. A helyszín adottságától függően még egy kellemes kirándulással is össze lehet kapcsolni a fotózást.
Szabadtéri, kültéri fotózás szabadtéri, fotózás, babafotózás, szabadban, családi
Hozhattok kétféle ruhát, így a képek színesek, változatosak lesznek. Profi galériában kapjátok a kész képeket, amit rokonokkal, barátokkal tudtok megosztani. Így a fotókat nem kell emailben elküldeni. Szabadtéri családi fotózás budapest. Bármi kérdésetek van, hívjatok, írjatok! Családi fotózás szabadtéren – Mit hozzunk magunkkal a fotózásra? Gyertek olyan ruhában, amiben szerettek lenni. Hozhattok többfelé ruhát is, így színes családi fotó sorozat rólatok. Ha van egyforma ruhátok, azt mindenképp hozzátok magatokkal, ezek nagyon eredeti képek lesznek. Amikor 5-10 év múlva visszanézitek a képeket, örömteli pillanatok lesznek.
Nézegessétek meg szabadtéri fotózások alkalmával készített albumaimat. Várlak Benneteket szeretettel fotózásra, megbeszélés szerint műtermembe, vagy akár természetes környezetbe.