Dr. Kósa András: Matematika - Halmazok, valós számok, függvények (LSI Omak Alapítvány, 1990) - Lektor Kiadó: LSI Omak Alapítvány Kiadás helye: Budapest Kiadás éve: 1990 Kötés típusa: Tűzött kötés Oldalszám: 205 oldal Sorozatcím: Magas szinten könnyedén Kötetszám: Nyelv: Magyar Méret: 23 cm x 17 cm ISBN: 963-04-0245-9 Megjegyzés: Fekete-fehér ábrákkal illusztrálva.
A téma tárgyalásának lehetséges felépítései: Középiskolai felépítés (természetes számokból kindulva a valós számokig, esetleg komplex számokig bővítjük a számfogalmat) Történeti áttekintés - a számfogalom fejlődése az őskortól napjainkig. Axiomtikus felépítés - A valós számok axiómarendszeréből kiindulva, a többi számhalmazt e halmaz nevezetes részhalmazaiként definiáljuk. bővebben: számhalmazok Számhalmazok Természetes számok halmaza Jele: Pozitív egész számok és a 0. Egész számok halmaza Természetes számok, és a negatív egész számok. Racionális számok halmaza Azon számokat tartalmaz, amik felírhatók két egész szám hányadosaként. Algebrai számok halmaza Az algebrai szám ok olyan valós vagy komplex számok, amelyek gyökei valamely racionális együtthatós, nem csupa nulla polinomnak. Irracionális számok halmaza A nem racionális valós számokat irracionális számok nak nevezzük. Jele: * Tétel Állítás: nem racionális szám, azaz irracionális. Az irracionális számok tizedes tört alakja végtelen, nem szakaszos tizedes tört.
Igaz, középiskolás szinten nem igen kell ezeket tudni: 1. Axiómarendszerük szintjén a Cantor-féle axiómával több a valós számok halmaza, azaz: Végtelen, egymásba skatulyázott, nem üres és zárt intervallumok uniója nem üres. Magyarul, ami lényeg, ez biztosítja azt, hogy felülről(alulról) korlátos nem üres halmaznak van legkisebb(legnagyobb) felső(alsó) korlátja/határa. A racionális számok halmaza az Arkhimedeszien-rendezett testtel azonos. Példa: gyök 2 nem racionális, a gyök 2-nél kisebb racionális számok halmaza nem üres, és kisebb (például) 3-nál, azaz korlátos, de nincs felső határa, azaz legkisebb felső korlátja A HALMAZBAN!, vagyis a racionális számok között. Topológia értelemben ezért a Q (csak) sűrű, míg az R teljes. 2. A halmazok számossága: Q megszámlálható végtelen, R kontinuum végtelen. 3. R-nek van olyan eleme mely nem gyöke egy kú valós polinomnak. Ezek a transzcendes számok. Ilyen a pí (3. 14.. ) is. 4. R-nek van önmagától különböző részteste (pl. : Q), Q-nak nincs. (Olyan részhalmaz, amelyből az összeadás/kivonás és szorzás/osztás nem vezet ki)
Az irracionális számok halmaza két diszjunkt részhalmazara bontható: Algebrai irracionális számok: olyan irracionális szám, amely gyöke egy egész együtthatójú, nem csupa nulla polinomnak. (Pl:) Ezek az euklideszi szerkesztési lépésekkel szerkeszthetőek. Transzcendens számok: Nem algebrai valós számok. Valós számok halmaza A racionális és irracionális számok halmazának egyesítését, azaz az egyenes pontjaihoz rendelt számok halmazát nevezzük valós számhalmaznak. A valós számok halmazának fő tulajdonságait axiómákkal írjuk körül. Komplex számok halmaza Halmazok számossága Számosságok egyenlősége Számosságok rendezése Véges halmazok Megszámlálható halmazok Nem megszámlálható halmazok A természetes számokat talán be lehetne úgy vezetni, hogy a megszámlálható halmazok számosságát nevezzük természetes számoknak (nemtudom ez mennyire precíz? [Coldfire] Ez kicsit a tyúk meg a tojás esete: mit is nevezel megszámlálható halmaznak? Ami ekvivalens a természetes számok valamelyrészhalmazával:) Ha már nagyon precízkedni akarunk, akkor valami ilyesmi: 0 - Az üres halmaz (0) számossága 1 - Az üres halmazt mint elemet tartalmazó halmaz, azaz {0} számossága (az üres halmaz hatványhalmaza) 2 - {0, {0}} számossága 3 - {0, {0}, {0, {0}}} számossága Általában az n. halmaz tartalmazza az n-1.
törvény (Szjt. ) rendelkezései vonatkoznak. További információk
Az elmúlt években a baloldalon a teljes kontrollt Gyurcsány Ferenc szerezte meg, ezért mindegy, hogy Jakab Péter, Karácsony Gergely vagy Dobrev Klára indul miniszterelnök-jelöltként, Gyurcsány Ferenccel állunk szemben – jelentette ki. Hozzátette: Gyurcsány Ferenc " szereplők mögé bújva újra hatalomra akar kerülni ", ezért a Fidesz azokat, akik nem akarják, hogy " újra hazudjanak reggel, éjjel és este, akik nem akarják, hogy Gyurcsány újra lovasrohamot vezényeljen a saját honfitársai ellen, vagy szemeket lövessenek ki, akik nem akarják, hogy fizetőssé tegyék az egészségügyet ", arra biztatja, hogy támogassák a petíciót. " Nem hagyhatjuk, nem fogjuk engedni, hogy ugyanazok az emberek, akik 2002–2010-ben tönkretették az országot ", hatalomra kerüljenek – emelte ki. A frakcióvezető szerint Karácsony Gergely főpolgármester fővárosi teljesítménye nem értékelhető. Stop gyurcsány stot karácsony petíció. Budapest romokban van, mindenhol kosz, szemét és dugó van, és eszkalálódott a hajléktalanhelyzet is – fogalmazott, hozzáfűzve: számos fővárosi döntés Gyurcsány Ferencéknél születik meg, mivel tele van a városháza is az ő embereivel.
– mondta Hollik István. A kormánypártok azt üzenik a petícióval Gyurcsány Ferencnek, és az emberének, Karácsony Gergelynek, hogy nagyon sokan vagyunk, akik emlékszünk még a kormányzására – tette hozzá. Gyurcsány elleni petíció – MINDEN SZÓ.hu. Sokan vagyunk, akik emlékszünk még a megszorításokra, a számtalan adóemelésre, és arra, hogy miként hagyták cserben a magyar családokat, a magyar nyugdíjasokat, akiktől egyhavi nyugdíjat elvettek, és hogyan tettek tönkre kormányzásukkal 200 ezer munkahelyet – mondta Hollik István, aki megígérte, hogy nem engedik Gyurcsány Ferencet és embereit visszatérni a hatalomba. MTI
Az elmúlt években a baloldalon a teljes kontrollt Gyurcsány Ferenc szerezte meg, ezért mindegy, hogy Jakab Péter, Karácsony Gergely vagy Dobrev Klára indul miniszterelnök-jelöltként, Gyurcsány Ferenccel állunk szemben - jelentette ki. Kocsis szerint Gyurcsány Ferenc "szereplők mögé bújva újra hatalomra akar kerülni", ezért a Fidesz azokat, akik nem akarják, hogy "újra hazudjanak reggel, éjjel és este, akik nem akarják, hogy Gyurcsány újra lovasrohamot vezényeljen a saját honfitársai ellen, vagy szemeket lövessenek ki, akik nem akarják, hogy fizetőssé tegyék az egészségügyet", arra biztatja, hogy támogassák a petíciót. "Nem hagyhatjuk, nem fogjuk engedni", hogy "ugyanazok az emberek, akik 2002-2010-ben tönkretették az országot", hatalomra kerüljenek - emelte ki. Stop gyurcsány stop karácsony petició. A frakcióvezető szerint Karácsony Gergely főpolgármester fővárosi teljesítménye nem értékelhető. Budapest romokban van, mindenhol kosz, szemét és dugó van, és eszkalálódott a hajléktalanhelyzet is - fogalmazott, hozzáfűzve: számos fővárosi döntés Gyurcsány Ferencéknél születik meg, mivel tele van a városháza is az ő embereivel.