Egy háromszöget szimmetrikusnak nevezünk, ha tengelyesen szimmetrikus, azaz létezik a háromszögnek szimmetriatengelye. A szimmetrikus háromszögekről sok-sok állítást megfogalmazhattunk kor A szimmetrikus háromszög szimmetriatengelyre merőleges oldalát alapnak hívjuk. A szimmetriatengely merőlegesen felezi az alapot. A szimmetrikus háromszög két egymással egyenlő oldalát száraknak nevezzük. A háromszög egy csúcsából a szemközti oldalra állított merőleges szakaszt a háromszög magasságának nevezzük. Az egyenlő szárú háromszög alappal szemközti csúcsából az alapra állított merőleges szakasz. Az egyenlő szárú háromszög a tengelyesen szimmetrikus háromszög másik elnevezése. A szimmetrikus fogalom alatt most tengelyes szimmetriát értünk. A tengelyesen szimmetrikus sokszögek: deltoid, húrtrapéz, a szabályos sokszögek és a kör - YouTube. Egyenlő szárú háromszögben az alap és a szár által bezárt szög. Az alapon fekvő szögek egyenlők. Egyenlő szárú háromszögben a két szár által bezárt szög. A szimmetriatengely felezi a szárszöget. A szimmetrikus háromszög területének meghatározásához duplázzuk meg a háromszöget, majd vágjuk ketté az alaphoz tartozó magasság mellett.
Csak tengelyesen szimmetrikus alakzat például az ábrán látható húrtrapéz, aminek szimmetriatengelye az alapok felező merőlegese, illetve a deltoid, aminek tengelye az egyik átlója. Ilyen tulajdonságú ez az egyenlő szárú háromszög is, aminek a szimmetriatengelye az alap oldalfelező merőlegese. Megfigyelhető, hogy minden középpontosan szimmetrikus alakzat forgásszimmetrikus is, hiszen a középpontos tükrözés egy ${180^ \circ}$-os forgatás. Szimmetria szempontjából érdekesek még a szabályos sokszögek. Szabályos sokszög minden olyan sokszög, aminek minden oldala egyenlő hosszú és minden szöge egyenlő nagyságú. Vizsgáljuk meg a szabályos ötszög és hatszög szimmetriáját! Kezdjük a tengelyes szimmetriával! Az alábbi állításokról döntsük el, hogy melyik igaz, melyik hamis. - a) Nincs középpontosan szimmetrikus háromszög. b) A középpontosan szimmetrikus négyszögek mind konvexek. c) Van olyan k.... Az ötszögnek, és minden páratlan oldalszámú szabályos sokszögnek, az oldalfelező merőlegesei a szimmetriatengelyei. Ezek egyben szögfelezők is. A hatszög, illetve minden páros oldalszámú szabályos sokszög szimmetriatengelyei az oldalfelező merőlegesei és a szögfelezői. Általában is igaz, hogy minden szabályos sokszög tengelyesen szimmetrikus, és annyi szimmetriatengelye van, mint ahány csúcsa.
Bizonyítás: Tekintsük az ABCD négyszöget. A B, A és D pontok egyértelműen meghatároznak egy kört (1 síkú, nem egy egyenesbe eső pontok), melyre még nem tudjuk, hogy illeszkedik-e a C csúcs. Vegyünk fel egy a BAD köríven kívüli P körvonal pontot. Ekkor BADP egy húrnégyszög, tehát BAD szög + BPD szög = 180°, így a feltételből adódóan BPD szög = γ. Mivel a látószögkörív azon pontok halmaza, ahonnan egy szakasz adott szög alatt látszik, ezért C pontnak is rajta kell lennie ezen a köríven, hiszen innen is γ szög alatt látszik a BD átló. ( C nem lehet a látókörív másik körívén (a P -től különböző BD kijelölt félsíkon), mert akkor az ABCD nem lenne konvex, vagy nem jönne létre négyszög) Egyebek Tétel: A húrnégyszög egy oldala a két szemközti csúcsból azonos szög alatt látszik. Ptolemaiosz tétele: A húrnégyszög átlóinak szorzata a szemközti oldalpárok szorzatának összegével egyenlő. Tengelyesen szimmetrikus négyszögek. (megfordítható! ) A húrnégyszög területe (lásd Bretschneider formula): Érintőnégyszög: Olyan konvex négyszög, melynek minden oldala egy kör érintője.
Milyen ponthalmazokat nevezünk a sík egy pontjára, ill. egy egyenesére szimetrikusnak? Sorolja fel a középpontosan, ill. a tengelyesen szimetrikus háromszögeket, négyszögeket, sokszögeket! Ha egy ponthalmazhoz található olyan O pont, melyre vonatkozó tükörképe önmaga, akkor ez a ponthalmaz középpontosan szimetrikus alakzat, melynek O a szimetriaközéppontja. Ha egy ponthalmazhoz található olyan t egyenes, amelyre vonatkozó tükörképe önmaga, akkor ez a ponthalmaz tengelyesen szimetrikus alakzat. A t egyenes az alakzat tükörtengelye vagy szimetriatengelye. Középpontosan szimetrikus háromszög nincs, mert nem lehetne kpárhuzamos és egyenlő hossz oldalpárjai. Középpontosan szimetrikus négyszög a paralelogramma. A szimetriaközéppont az átlók metszéspontja. Középpontosan szimetrikusak általában a páros oldalszámú szabályos sokszögek, például a szabályos 6szögek, 8szögek, 10szögek stb. Szimetriaközéppontjuk az átellenes csúcsokat összekötő átlók metszéspontja, amely egyttal a párhuzamos oldalpárok felezőmerőlegeseinek is közös pontja.