Kombinatorika feladatok során rengetegszer találkozhatunk a variáció fogalmával. De mit is jelent pontosan az ismétlés nélküli és az ismétlésesvariáció? Milyen feladatokat lehet megoldani a segítségükkel? Az alábbiakban mindegyik kérdésre megadjuk a választ! Ismétlés nélküli variáció Legyen n egymástól különböző elemünk. Ha ezekből k () elemet kiválasztunk minden lehetséges módon úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendjére tekintettel vagyunk, akkor az n elem k -ad osztályú ismétlés nélküli variációjá t kapjuk. Jelölése:. Most, hogy a fogalmat már ismerjük a következő lépés az, hogy megtudjuk hogyan kell kiszámolni n elem összes k-ad osztályú ismétlés nélküli variációnak a számát. Azaz n elem összes k -ad osztáylú ismétléses variációinak a száma megegyezik az n faktoriális és n-k faktoriális hányadosával. Most pedig nézzük a feladatokat! Ismétlés nélküli variácó feladatok megoldással Mind az ismétlés nélküli, mind az ismétléses variáció feladatok ugyanúgy fognak felépülni: az első tabon található a megoldás.
darab különböző elemet tartalmazó halmazból válasszunk ki darab elemet, úgy, hogy minden elemet csak egyszer választhatunk. Vegyük ezen elemek egy sorrendjét. Ez a halmaznak egy -ad osztályú (ismétlés nélküli) variációja ( és pozitív egészek). Jele: Képlet [] A képlet megértéséhez szükség van a faktoriális fogalmának ismeretére. Példa [] Hogyan alakulhat egy futóverseny nyolcfős döntőjében a három dobogós sorrendje (a holtverseny kizárásával)? (Itt és. ) Feladat [] 18. Feladat
A lenti képletben ilyenkor a nevezőben 0! szerepel, amelynek az értéke 1. Ismétléses variációkról beszélünk, ha egy elem többször is előfordulhat. Ebben az esetben k és n értéke független egymástól. Tipikus példa: hogyan tölthető ki egy 13+1 sorból álló totószelvény az 1, 2 és x szimbólumok használatával? (Ebben a példában n=3 és k=14. ) Maga a variáció tehát az elemek egy lehetséges rendezett kiválasztását jelenti; a fogalom nem tévesztendő össze a variációk számával, amely azt mutatja meg, hogy hány ilyen variációt képezhetünk. Matematikailag az A halmaz n-edrendű k-adosztályú variációi felfoghatóak v:{1, 2, …, k-1, k}→A leképezéseknek (az ismétlés nélküli variációk pedig ilyen alakú injektív leképezéseknek). Számuk [ szerkesztés] Az elem -adosztályú ismétlés nélküli variációi nak száma (jelölje):, ahol a! a faktoriális jele. (A második alakot, amely gyakorlati célokra sokszor alkalmasabb, úgy kaphatjuk meg, hogy a tört számlálóját és nevezőjét a faktoriális definíciója szerint szorzatalakba írjuk, majd elvégezzük az egyszerűsítést.
Ha $n$ db. egymástól különböző elem közül kiválasztunk $k$ ($k \leq n$) db. -ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít, akkor az $n$ elem $k$-ad osztályú ismétlés nélküli variációját kapjuk. $n$ darab különböző elemből kiválasztott $k$ darab elem variációinak száma: \( n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot (n-k+1) = \frac{n! }{(n-k)! } \)
n darab elemből kiválasztunk k darabot és őket sorba rendezzük, nincs ismétlődés. $V_n^k = \frac{{n! }}{{\left( {n - k} \right)! }}$, ahol k }{\left( n-k \right)! } \) , ahol k≤n. És ezt kellett bizonyítani. Feladat:
Egy 35-ös létszámú osztályban 7 különböző könyvet sorsolnak ki. Hányféleképpen történhet a könyvek szétosztása, ha
a) egy tanuló csak egy könyvet kaphat;
b) egy tanuló több könyvet is kaphat? (Összefoglaló feladatgyűjtemény 4077. feladat. ) Megoldás:
a) 35 tanulóból kell 7 főt kiválasztani és mivel a könyvek különbözőek, nem mindegy a sorrend sem. A lehetőségek száma 35 elem 7-ed osztályú variációinak a számával egyenlő. \( {V^7_{35}}=\frac{35! }{\left( 35-7 \right)! }=\frac{35! }{28! } \)
A számlálóban és a nevezőben azonban óriási számok szerepelnek. Így sok esetben elegendő ezt a kifejezést, mint eredményt közölni. Ha azonban az érték kiszámítására is szükség van, akkor sokszor egyszerűbb a 7 tényezős szorzat felírása:
\( {V^7_{35}} \)= 35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29=33 891 580 800=3, 38915808*10 10. Vagyis több mint 33 milliárd! b) Ha azonban egy tanuló több könyvet is kaphat, akkor 35 elem 7-ed osztályú ismétléses variációjáról beszélünk. A mosogatógép fogyasztása:
Program (1 teljes töltet)
Fogyasztás (kWh)
Mosogatás 50 °C-on
1, 1
Top Gorenje Mosogatógépek
Kapcsolódó kategóriák
Gorenje GI52040X Mosogatógép
Keskeny beépíthető mosogatógép - (45cm), E energiaosztály aqua stop, magassága 81, 5 cm, szélessége 44, 8 cm, mélysége 55, 8 cm, az ajtót nem tartalmazza a csomag Szeretnél mást is csinálni az állandó mosogatáson kívül és a vízzel is szívesen spórolnál? Ez a(z) GORENJE GI52040X keskeny beépíthető mosogatógép egyszerre egészen 9 terítékkel is megbirkózik,...
Gorenje GS52040S Mosogatógép
Keskeny mosogatógép - E energiaosztály, 9× étkészlet kapacitás ciklusonként (ECO program esetében), C zajkibocsátási osztály, aqua stop, szélessége 44, 8 cm, mélysége 60 cm, magassága 84, 5 cm Már nem akarod a mosogatásra pazarolni az idődet és szívesen vennéd, ha a vízfogyasztást is tudnád csökkenteni? 93 kW 600 mm széles
Gorenje GS520E15S Mosogatógép
Keskeny mosogatógép - E energiaosztály, 9× étkészlet kapacitás ciklusonként (ECO program esetében), C zajkibocsátási osztály, szélessége 44, 8 cm, mélysége 60 cm, magassága 84, 5 cm Szeretnél mást is csinálni az állandó mosogatáson kívül és a vízzel is szívesen spórolnál? Ez a(z) GORENJE GS520E15S keskeny mosogatógép egyszerre egészen 9 terítéket is képes elmosni, miközben Te...
Gorenje Gi520E15X Mosogatógép
Keskeny beépíthető mosogatógép - (45cm), E energiaosztály aquastop, gyors mosás és mosás végét jelző hangjelzés, magassága 81, 5 cm, szélessége 45 cm, mélysége 58 cm, az ajtót nem tartalmazza a csomag Már unod az állandó mosogatást és az időn kívül a vízzel is szívesen spórolnál? Ez a(z) GORENJE GI520E15X keskeny beépíthető mosogatógép egy ciklussal akár 9 terítéket is képes elmosni, miközben Te...
Gorenje GI561D10S Mosogatógép
Beépíthető Rejtett kezelőpaneles 11 db ECO program Automata program Üvegprogram AquaStop Késleltetett indítás 9.Gorenje Gi55110S A++ 45 Cm Keskeny 3 Tálcás Beépíthető Mosogatógép 10 Teríték
KEZELŐPANELES 45CM MOSOGATÓGÉP - Essential 9 terítéskes 2 kosár, A++ (E)energiaosztály, 5 program (Intenziv, Normál, ECO, Áztatás, Gyors), 3 mosogatá
Gyártó: Gorenje