Például 2 10 =1024. Prímszámok 100 in english. Ha az 1024-et elosztjuk 10+1=11-el, akkor a maradék 1 lesz. A 11 pedig tényleg prím. Ha viszont a 2 11 =2048-al tesszük ugyanezt, azaz 2048-at elosztjuk 11+1=12-vel, akkor 8-at kapunk maradékul, nem 1-et, de hát a 12 nem is prím. Ezek egyszerű példák, de az a p-1 -nek p-vel való osztási maradékának a meghatározása viszonylag hatékony, ezért ez egy elég jó eljárás egy szám összetettségének megállapítására.
Prímszámok eloszlása, elhelyezkedése a természetes számok között. o Prímszámok száma végtelen. o Ha a prímszámok elhelyezkedését vizsgáljuk, azt találjuk, hogy minél nagyobb számokból álló intervallumban keresünk, annál kevesebb számú prímet találunk. Például: 0 és a 100 között 25 db prím 900 és 1000 között 14 db prím 10 000 000 és 10 000 100 között 2 db prím Egy más megközelítésben: Meddig Prímszámok száma% 10-ig 4 db 40% 100-ig 25 db 25% 1 000-ig 168 db 17% 10 000-ig 1229 db 12% Gauss 1791-ben, 14(! ) éves korában becslést adott erre, azt találta, hogy ezres számkörben a prímszámok száma fordítottan arányos a számok logaritmusával. Ezt később többen, például Riemann német matematikus is pontosították o Ikerprímek, mint azt a prímszámok fogalmánál már láthattuk, azok, amelyek különbsége 2. Azaz közel vannak egymáshoz. Úgy tűnik, végtelen sok ikerprím van, de ezt még mind a mai napig nem sikerült bizonyítani. o Bizonyított azonban, hogy a prímszámok között tetszőleges nagy hézagok vannak (amely számok között nincs prímszám).
Legyen a=3, b=5, így (3;5)=1, tehát 3⋅n+5 alakú számok között végtelen sok prímszám van. (n=1 esetén az érték 8 nem prím, n=2 esetén 11, ez prím, stb. ) 2. Nagyon sok prímszám n 2 +1 alakú, ahol n pozitív egész. Nyitott kérdés, hogy az ilyen típusú prímszámokból végtelen sok van-e? Megjegyzés: Persze, ez a formula sem mindig prímszámot ad. Például n=1 esetén 2, n=2 esetén 5 is prím, de n=3 esetén 10 már nem prím. 3. 2 n +1 alakú Fermat-féle prím, ahol n kettő hatvány, azaz n=2 k, ahol k nem-negatív egész. Például ez a kifejezés k=0, 1, 2, 3, 4 esetén prímszámot ad, ezek 20+1=3, 22+1=5, 24+1=17, 28+1=257, 216+1=65537, de k=5 esetén a 232+1=4 294 967 296+1=4 294 967 297 nem prím, mivel 4 294 967 297=641*6 700 417. Ezt Euler mutatta ki. Kétséges, hogy k>5 esetén a kapott számok prímek-e. Persze minden Fermat féle prím egyben n 2 +1 alakú is. Érdekes geometria kapcsolat van a Fermat-féle prímek és a szabályos sokszögek szerkeszthetősége között. Gauss bebizonyította, hogy az n oldalú prímszám oldalszámú szabályos sokszögek közül csak azok szerkeszthetők, amelyeknél az oldalak száma Fermat-féle prím.
for ( int i = 2; i <= M; ++ i) tomb [ i] = true; //2-től indítjuk a for-t, alapból mindent igazra állítunk.
o Bizonyított az is, hogy minden természetes szám és kétszerese között van prímszám. (Csebisev tétel. ) o Nem bizonyított viszont, hogy két négyzetszám között mindig van prímszám. Különböző fajta prímek: A páratlan prímszámok alapvetően két osztályba sorolhatók: • 4n+1 alakú, ahol n pozitív egész. Például: 5, 13, 17, stb. • 4n-1 alakú prímek, ahol n pozitív egész. Például: 3, 7, 11, stb. Fermat tétele, hogy a 4n+1 alakú prímek mindig előállíthatók két négyzetszám összegeként (pl. 13=2 2 +3 2), míg a 4n-1 alakú prímekre ez nem teljesül. Ez a tétel is azok közé tartozik, amelynek bizonyítását Fermat nem közölte. Jóval halála után Euler bizonyította be. A prímszámokat csoportosíthatjuk még: 1. a⋅n + b alakú prímszámok, ahol n egész, és (a, b)=1, azaz relatív prímek. Ha n végigfut a nem-negatív egész számokon, akkor ezek a számok adott a és b esetén egy számtani sorozatot alkotnak. Bebizonyítható, hogyha (a;b)=1, akkor ebben a számtani sorozatban végtelen sok prímszám lesz. De persze nem mindegyik.
WriteLine ( "Kérem N értékét: ");
string s = Console. ReadLine ();
int n = Convert. ToInt32 ( s);
bool [] nums = new bool [ n];
nums [ 0] = false;
for ( int i = 1; i < nums. Length; i ++)
{
nums [ i] = true;}
int p = 2;
while ( Math. Pow ( p, 2) < n)
if ( nums [ p])
int j = ( int) Math. Pow ( p, 2);
while ( j < n)
nums [ j] = false;
j = j + p;}}
p ++;}
for ( int i = 0; i < nums. Length; i ++)
if ( nums [ i])
Console. Write ( $"{i} ");}}
Console. ReadLine ();
Programkód C++-ban [ szerkesztés]
Optimális C++ kód, fájlba írással
//Az első M (itt 50) szám közül válogassuk ki a prímeket, fájlba írja az eredményt - Eratoszthenész Szitája
#include
Eratoszthenész szitája a neves ókori görög matematikus, Eratoszthenész módszere, melynek segítségével egyszerű kizárásos algoritmussal megállapíthatjuk, hogy melyek a prímszámok – papíron például a legkönnyebben 1 és 100 között. Az algoritmus [ szerkesztés]
1. Írjuk fel a számokat egymás alá 2 -től ameddig a prímtesztet elvégezni kívánjuk. Ez lesz az A lista. (Az animáció bal oldalán. ) 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2. Kezdjünk egy B listát 2-vel, az első prím számmal. (Az animáció jobb oldalán. ) 3. Húzzuk le 2-t és az összes többszörösét az A listáról. 4. Az első át nem húzott szám az A listán a következő prím. Írjuk fel a B listára. 5. Húzzuk át az így megtalált következő prímet és az összes többszörösét. 6. Ismételjük a 3–5. lépéseket, amíg az A listán nincs minden szám áthúzva. A pszeudokód [ szerkesztés]
Az algoritmus pszeudokódja:
// legfeljebb ekkora számig megyünk el
utolso ← 100
// abból indulunk ki, hogy minden szám prímszám
ez_prim(i) ← igaz, i ∈ [2, utolso]
for n in [2, √utolso]:
if ez_prim(n):
// minden prím többszörösét kihagyjuk,
// a négyzetétől kezdve
ez_prim(i) ← hamis, i ∈ {n², n²+n, n²+2n, …, utolso}
for n in [2, utolso]:
if ez_prim(n): nyomtat n
Programkód C-ben [ szerkesztés]
#include A "Skyscanner – Szállodák" alkalmazással gyorsan és egyszerűen megszervezhető az Ön Kádár Villa Balatonaliga környéki szállása. Az ország legpuritánabb luxusnyaralója, az aligai Kádár Villa - Tó-retró. Néhány kattintással, közvetlenül a szálloda vagy az utazási iroda honlapjára átnavigálva kereshet, hasonlíthat össze és foglalhat le szállodákat. Ha nálunk foglal, a tartózkodására nem lesznek járulékos díjak felszámolva. Kezdésként egyszerűen csak írja be választott utazási dátumait a fenti keresőmezőbe, és hagyja, hogy megkeressük Önnek a vonatkozó legolcsóbb ajánlatokat. Vagy válasszon ki egy Kádár Villa Balatonaliga környéki nagyra értékelt szállodát a fenti listából. Így nyaralt a kádári elit Aligán, saját szigettel, fegyveres őrökkel és egy településnyi ember kiköltöztetésével. A Kádár Villa
Forrás: wikimedia
Elképzelni is nehéz, mekkora izgalommal várhatták azok a tulajdonosok illusztris vendégeiket, akik a felszabadulást követő években az MSZMP legfelsőbb köreinek adták bérbe aligai nyaralóikat. Akkor még nem sejtették, hogy az ország történelmének egyik legnagyobb kisajátítási folyamatának ágyaznak meg éppen. A nagy hatalmú párt vezetőségének tagjai ugyanis jól érezték magukat itt, a Balaton egyik legnagyobb, egybefüggő strandjának a partján, hogy úgy gondolták: ez a környék többre hivatott, mint az egyszerű proletárok pihenésének szolgálata. Balatonaliga, pártüdülő, 4-es (Kádár) és 5-ös villa - YouTube. Mivel akkoriban nagy léptékben álmodtak az emberek, így csakhamar kezdetét vette a teljes település felszámolása, melynek során az itt lakókat a közeli településeken "megüresedett" házakba költöztették. A Rákosi rendszer vezetői felmérték a terepet és a megfelelő állapotú és minőségű épületek kiválasztása után a felesleget a földdel tették egyenlővé, hogy felépülhessen a balatonaligai pártüdülő, mely talán a legnagyobb presztízsű lett az ország hasonló építményei között. IV. számú villa. A rendszerváltást követően a telep több vállalkozó kezén is megfordult, miközben lassan a nyilvánosság számára is hozzáférhetővé vált. Ez a gyakorlatban azt jelentette, hogy míg Aliga I. létesítményeit tovább üzemeltették, a korábbi pártvezetői épületek sorsa az őrizetlen pusztulás lett. Az épületek jelentős része a 2010-es évekre súlyosan megrongálódott, a bútorokat ellopták vagy eltüzelték, a nyílászárók üvegeit kitörték. A jelenlegi tulajdonos Appennin Holding Nyrt. 2020 februárjában sajtótájékoztatón jelentette be, hogy megkezdődik a terület felújítása. A déli szakaszon a tervek szerint már nyárra látható lesz a változás, jövő ősztől kétéves munkával pedig teljesen megújul a kikötő, és étterem is épül. 2023 végén új, 150-200 ágyas szállodát is átadnának. Az Aliga II. területén elbontják a meglévő épületek többségét, és a cég tervei szerint értékesíthető építési telkeket alakítanak ki. Az érvényes balatonvilágosi szabályozás szerint a területen három épület: a Castro-villa, a Kádár-villa, valamint az Olgyay-tervezésű étterem helyi védettséget élvez, emellett a terület teljes egészének zöldfelülete is.Az Ország Legpuritánabb Luxusnyaralója, Az Aligai Kádár Villa - Tó-Retró
Balatonaliga, Elhagyatott Kádár Villa - Youtube
Balatonaliga, Pártüdülő, 4-Es (Kádár) És 5-Ös Villa - Youtube
Kádár soha nem kérte, hogy a korábbi aligai villáját átalakítsák vagy éppen modernebbet építsenek helyette. A IV. számú, Bauhaus stílusú és 80 négyzetméter alapterületű új épületet a párt építette és ajándékozta szeretett első titkárának, a hetvenes években. A berendezés is a lehető legegyszerűbb volt, csupa olyan bútorral, melyek bármelyik lakásban vagy éppen pártirodában állhattak volna, ráadásul mindegyiken ott díszelgett az MSZMP leltári lajstromszáma. A nyaraló és berendezése ugyanis nem került a főtitkár birtokába, az mindvégig a párt tulajdona maradt. Igaz persze, hogy a villában volt néhány igazán fényűző dolog, például légkondicionáló vagy az ország egyik első színestelevíziója, de összességében meglehetősen egyszerű benyomást keltett. Kádár azonban így is kifejtette, hogy nem tetszik neki a nyaraló, mert felesleges fényűzésnek érzi azt. Balatonaliga, elhagyatott Kádár villa - YouTube. Nem is volt benne túl sokat. Az ország első embere inkább a kedvéért a nyaralóval szemben épített saját szigetén horgászgatott vagy az üdülő környékén sétált a testőrsége legnagyobb rémületére.