A történet úgy szól, hogy kezdetben volt 23 milligramm, a végén pedig 736: De az x=5 nem azt jelenti, hogy 5 perc telt el… Az x=5 azt jelenti, hogy 5 generációnyi idő telt el: Vagyis 60 perc telt el. A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év. Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében. Hát így elsőre ez egy elég ronda képlet, de mindjárt kiderül, hogy nem is olyan rémes. Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Mozaik Kiadó - Matematika feladatgyűjtemény középiskolásoknak - Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása függvénytani alapokon. Hány százalékkal csökken 100 év alatt a 90-stroncium mennyisége? A 90-stroncium felezési ideje 25 év, tehát képletünk valahogy így néz ki: Íme, a képlet: Ha 40 év telik el, akkor t helyére 40-et írunk: Ezt beírjuk a számológépbe… 40 év alatt tehát a 33%-ára csökken a 90-stroncium atommagok száma.
6. feladat 1 4 4 4 1 x 1 • Vegyük észre, hogy az 1/4-t felírhatjuk 4 hatványaként! 8 7. feladat 10 0, 01 2 10 10 x 2 • Vegyük észre, hogy az 0, 01-t felírhatjuk 10 hatványaként! 9 8. feladat a a 4 32 2 x 2 2 2x 2x 5 x 2, 5 • Vegyük észre, hogy a 4-t és a 32-t felírhatjuk 2 hatványaként! • Alkalmazzuk a hatványok hatványozására vonatkozó azonosságot az egyenlet bal oldalára! 10 9. feladat 7 0 • Egy nem zérus alapú hatvány értéke soha sem lehet zérus. • Nincs megoldása az egyenletnek. x R 10. feladat 5 3 • Különböző alapú hatványok értéke azonos kitevővel akkor és csak akkor egyeznek meg, ha a kitevő x0 12 10. Feladat – másik módszer, mellyel azonos alapú hatványokra hozzuk az egyenlet oldalait! 5 5 3 3 an a n b b 5 1 3 0 ha a kitevőjük isosszuk megegyezik. • Azegyenlők, előbbi megoldást félre téve el az egyenletet az egyenlet jobb oldalával! Matematika - 11. osztály | Sulinet Tudásbázis. • Alkalmazzuk az azonos kitevőjű hatványok hányadosára vonatkozó azonosságot az egyenlet bal oldalára!
Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 7-tel! Írjuk fel a 16-t 2 hatványaként: 16=24. Az azonos alapú hatványok akkor egyenlők, ha kitevőjük is megegyezik! 17. Feladat 2 34 nm 2 2 2: 2 34 a a: a 4 2 34 Az egyenlet bal oldalára alkalmazzuk a következő 17 x 2 34 8 bal oldalát! Hozzuk 4 egyszerűbb alakra az2egyenlet x2 x 2 Vonjuk össze a 2x-es tagokat! Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 17/4-gyel! Írjuk fel a 8-t 2 hatványaként: 8=23! 20 18. Feladat x 1 x 1 25 5 4 5 5 646 25 5 5 4 5 ax a a:a x a 625 5 20 5 5 3230 Az egyenlet balxoldalára alkalmazzuk a következő azonosságot: 646 3230 Szorozzuk be az egyenlet minden tagját 5-tel! x az 5 -t tartalmazó tagokat! Vonjuk 5 össze 5 5 • Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 646-tal! • Írjuk fel az 5-t 5 hatványaként! 51=5 • Az azonos alapú hatványok akkor egyenlők, ha kitevőjük is megegyezik! Matematika #56 - Exponenciális Egyenlőtlenségek - YouTube. 21 19. Feladat Oldjuk meg az egész számok halmazán a következő egyenleteket! 2 x 2 5 x 2 x 2 1 2Az egyenlet 5jobb és bal oldalán n különbözőek a hatványok a n alapjai, viszont a kitevőjük csak annyiban különböznek, hogy x2 egymásnak 2 -1-szerese.
Előzetes tudás Tanulási célok Narráció szövege Kapcsolódó fogalmak Ajánlott irodalom Ehhez a tanegységhez ismerned kell a pozitív egész, 0, negatív egész és racionális kitevőjű hatvány fogalmát, a hatványozás azonosságait, az exponenciális függvényt, a másodfokú egyenlet megoldóképletét. A tanegységből megismered az exponenciális egyenletek típusait, megoldási módszereiket. Sokféle egyenlettel találkoztál már a matematikaórákon: elsőfokú, másodfokú, gyökös, abszolút értékes. Most egy újabb egyenlettípussal ismerkedünk meg. Oldjuk meg a következő egyenletet: ${5^x} = 125$ (ejtsd: 5 az x-ediken egyenlő 125). Ebben az egyenletben a kitevőt nem ismerjük. A kitevő idegen szóval exponens, innen kapta a nevét az exponenciális egyenlet. Tudjuk, hogy a 125 az 5-nek 3. hatványa, ezért a megoldás $x = 3$. Más megoldás nincs, mert az $f\left( x \right) = {5^x}$ (ejtsd: ef-iksz egyenlő öt az ikszediken) függvény szigorúan monoton növekvő, egy függvényértéket biztosan csak egyszer vesz fel. A következő egyenlet is hasonló.
Exponenciális egyenletek Download Report Transcript Exponenciális egyenletek Készítette: Horváth Zoltán 1. feladat 2 16 x 2 2 4 • Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik. x4 • Vegyük észre, hogy a 16-t felírhatjuk 2 hatványaként! 2 2. feladat 3 27 3 3 3 x3 • Vegyük észre, hogy a 27-t felírhatjuk 3 hatványaként! 3. feladat 3x 3x 3 x 1 4. feladat 4 x 5 729 3 6 4x 5 6 4 x 11 • 11 x felírhatjuk Vegyük észre, hogy a 729-t 3 hatványaként! Ezt onnan is megtudhatjuk, ha elvégezzük a 729 prímtényezős felbontását! 5 5. feladat ha x 0 x 3 x 3 ha x 0 x 3 3 x 4 9 2 x 2 2 2 x 2 3 2 2 x 2 a a n k n k ha x 3x 4 22x 2 3x 4 22 x 2 ha x 3x 4 22 x 2 Vegyük 3x észre, 4 hogy 4 x a 9-t4felírhatjuk33xhatványaként! 4 4x 4 Eközben 8 az egyenlet bal oldalán alkalmazzuk a következő 7 8hatványok hatványára vonatkozó azonosságot: 0x x (ügyeljünk közben arra, hogyaegytagú algebrai kifejezést feltételne k nem felel meg szorzunk több tagú algebrai kifejezéssel!!! )
1 3 3 3 27 4 2 2 3 2 3 3 an 2 a 3 2 3 3 2 • Hozzuk hatványalakra az egyenlet jobb x és baloldalán, Q 2 található törteket! • azonosságot! Alkalmazzuk az azonos kitevőjű hatványok hányadosára vonatkozó azonosságot! • Ha a hatványok alapjai megegyezik, akkor az • egyenlőség Vegyük észre, hogy egyenlet jobb a csak úgyaz teljesülhet, ha a oldala kitevőkfelírható is 3/2 hatványaként, mert 2/3 reciproka a 3/2! megegyeznek. 17 15. feladat 3 x 3 x 100 2 10 5 100 2 10 10 5 100 2 10 10 x 100 2 5 10 10 n m / 5 a a m x 100 10 10 10 1 2x 100 10 0, 1 10 x 0, 5; 0, 5 Q 1000 10 18 16. Feladat Oldjuk meg az egyenletet a valós számok halmazán! x 3 2 2 112 n m 2 2 2 112 2 bal2oldalára 112 Az 8 alkalmazzuk a következő 7 2 112 azonosságot: Hozzuk az egyenletet egyszerűbb alakra, azaz 23=8. Végezzük el a kivonást az egyenlet bal oldalán!
Végül egy harmadik feladattípus következik: a másodfokú egyenletre visszavezethető exponenciális egyenlet. Vegyük észre, hogy a ${4^x}$ (ejtsd: négy az ikszediken) a ${2^x}$ négyzete. Vezessünk be egy új változót, a ${2^x}$-t jelöljük y-nal. Az y beírása után másodfokú egyenletet kapunk. Ennek a megoldása még nem a végeredmény, ki kell számolni az x-eket is. Itt felhasználjuk, hogy a számok 0. hatványa egyenlő 1-gyel. A kapott gyökök helyesek. Ha az egyenletben az ismeretlen a kitevőben van, akkor exponenciális egyenletről beszélünk. Többféle exponenciális egyenlettel találkoztunk. A legegyszerűbbeknek mindkét oldala egytagú. Ezeket úgy alakítjuk át, hogy ugyanannak a számnak a hatványai legyenek mindkét oldalon. Ha az egyik oldal többtagú és a kitevőkben összeg vagy különbség szerepel, a megfelelő hatványazonosságot alkalmazzuk, majd összevonunk, és osztunk a hatvány együtthatójával. A harmadik típusfeladat a másodfokúra visszavezethető exponenciális egyenlet. Ez tartalmaz egy hatványt és egy másik tagban annak a négyzetét.
A mai világban pontosság alatt a millimétert értjük. Óvakodjunk a mindent elnagyoló mérőszalagos emberkéktől! Soha ne vegyünk olyan tolóajtós rendszert, ahol a felső részben sínek és nem görgők vannak ugyanúgy, mint alul, mert az 1-2 év múlva szorulni fog. A felső sínes megoldások a gyengébb minőség árulkodó jelei. Pneumatikus csillapító és ajtóbehúzó rendszer olyan komfortérzetet ad, mint ha nem is ugyanabban a világban mozogna a két tolóajtós szekrény, pedig árban nincs nagy különbség, technikai színvonalban azonban igen. A kivitelező egyik minősítője, hogy a látható részeken csavarozással vagy más technikai megoldásokkal oldja meg a rögzítéseket, például az alsó sín rögzítését. Szekrény a folyosón - 50 fénykép praktikus és gyönyörű. Kérdezzünk rá a kivitelezőnél! SPECIÁLIS FELHASZNÁLÁSI TERÜLETEK: Tetőtéri megoldások: A tetőterek jellemzője a ferde mennyezet, ami igencsak megnehezíti begardróbozásukat, beépített szekrényekkel való beépítésüket. A specialistáknál léteznek megoldások ennek a kihívásnak való megfelelésre is. Térelválasztók, gardróbszoba ajtók: Amennyiben egy tolóajtó rendszert térelválasztóként vagy gardróbszoba ajtóként kívánunk használni, úgy rendkívül fontos, ha a tolóajtó egészében mindkét oldalról esztétikus.
Létezik az ajtófront színével megegyező fadekor és pácolható furnérozott bevonatú fémváz is, ami elrejti a fémes elemeket, és csak a fa marad, mint az több helyen látszik is a képeken. MINŐSÉG: Csak tolóajtós rendszereket fejlesztő specialistáktól vásároljunk, mert kizárólag ők jelentik a minőség garanciáját tolóajtó vasalatok esetén! A beszerelő cég esetében is kérjük számon a szakértelmet például a korpusz (bútor váz) ajánlásával kapcsolatban. Ne hagyjuk, hogy nevetséges érvekkel lebeszéljenek róla azzal, hogy így olcsóbb, mert ezt nem a bolti eladó dönti el, hanem a rendelkezésünkre álló falak egyenessége vagy egyenetlensége. Merkury Market webáruház / Szakemberek tippei / Beépített ruhásszekrény - melyik választani?. Ha azt akarjuk, hogy ajtóink úgy járjanak, mint ha valami folyadékon siklanának, akár egy vitorlás, akkor még a kisebb egyenetlenségek vasalat állítással történő 'kikorrigálását' sem szabad megengednünk. Ha tökéletes derékszög-párhuzam uralkodik nálunk, akkor pedig nem szabad korpuszt építeni. Minden a gondos felmérésen múlik. Figyeljünk oda a felmérő precizitására, hiszen a mai szerkezetek pontatlan felméréstől akár használhatatlan, jobb esteben esztétikai hibalehetőséghez vezetnek.
Egy magasfényű fóliás vagy festett ajtóval ellátott tolóajtós szekrény nappalink legszebb bútordarab, ráadásul egy csapásra a legmodernebb elit világba varázsol bennünket. TECHNIKAI JELLEMZŐK: A hasznos mélységhez tolóajtós szekrénynél 9 cm-t kell hozzászámolni, ami a vasalat mélységéből és ujjaink védelméből adódik (a függőleges elválasztók sérülést okozhatnak, ha nincs az ujjunknak hely a korpusz és az ajtó között). Harmonikaajtók esetén ez csupán 4, 5 centiméter, nyílós ajtóknál 2 centiméter, ami – ez utóbbinál – az ajtó anyagának vastagsága. Az általunk választott gardróbspecialista szállító termékeiből a maximális magasság 290 cm, a maximális szélesség ajtónként 160 cm. A 3 ajtó az optimális, 4 ajtós rendszerek is építhetőek, illetve külön korpusszal tetszőleges szélesség elérhető. (Eddig 14, 6 méter volt az általunk épített legnagyobb rendszer, de ez nem korlát. Beépített szekrény, világosszürke/fehér, JULIA TYP 81 - Buto. ) A védőfóliával ellátott üveg / tükör elemek fadekor és lakkozott fafelületű furnér anyagokkal variálhatók. Csak a fantáziánk szab határt a különleges megoldásoknak és remek hatásoknak.