Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda Frissítve: 2012. novermber 19. 23:07:41 1. Azonosságok A sin és cos szögfüggvények derékszög¶ háromszögben vett, majd kiterjesztett deníciója és a Pithagorasz-tétel miatt teljesül a következ®: sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1 (1) 1. 1. Azonosság. 1. 2. Következmény. sin2 ϕ = 1 − cos2 ϕ (2) cos2 ϕ = 1 − sin2 ϕ (3) 1. 3. Következmény. 1. 4. Azonosság. Mivel tgϕ = cosϕ sinϕ és ctgϕ =, ezért cosϕ sinϕ ctgϕ = 1. 5. Azonosság. 1 tgϕ (4) Fentiek miatt igaz a következ® is: tgϕ = 1 ctgϕ (5) Mivel számológép segítségével a tangens értékét könnyebb meghatározni, ezért ha lehetséges, a (4)-es és (5)-ös azonosságok közül válasszuk a (4)-est. 1. 6. Megjegyzés. 2. Példák 2. Példa. Oldjuk meg a következ® egyenletet a valós számok halmazán! Trigonometrikus egyenlet – Wikipédia. 2 − 7sinx = 2cos2 x + 4 Felhasználva a (3)-as azonosságot, a következ®t kapjuk: 2 − 7sinx = 2(1 − sin2 x) + 4 2 − 7sinx = 2 − 2sin2 x + 4 1 Legyen most y = sinx. Ekkor: 2 − 7y = 2 − 2y 2 + 4 2y 2 − 7y − 4 = 0 Oldjuk meg ezt az egyenletet a másodfokú egyenlet megoldóképlete felhasználásával: p √ 49 − 4 · 2 · (−4) 7 ± 81 7±9 = = 4 4 4 1 y1 = 4 és y2 = − 2 Térjünk vissza az általunk bevezetett y = sinx jelöléshez.
Interaktív másodfokúra visszavezethető trigonometrikus egyenlet KERESÉS Információ ehhez a munkalaphoz Szükséges előismeret Másodfokú egyenlet, megoldóképlet. Módszertani célkitűzés Az új változó bevezetésének felismerése és gyakoroltatása, valamint az egyenletek célirányos megoldásának bemutatása. A másodfokúra visszavezethető trigonometrikus egyenletek gyakorlása interaktív lehetőséggel összekötve, azonnali visszajelzés jó és rossz válasz esetén is. Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként Könnyű, nem igényel külön készülést. Módszertani megjegyzés, tanári szerep A megoldáshoz felkínált rossz válaszlehetőségek a diákok által gyakran elkövetett típushibákat jelenítik meg. 10. évfolyam: Egyszerű trigonometrikus egyenlet – tangens 3.. Elképzelhető, hogy a feladatban fel nem sorolt más helyes megoldási módszer is alkalmazható lenne az egyenlet megoldásához. Ha van rá mód, a tanár kitérhet a különféle módszerek bemutatására is. Jelen esetben a tanegység célja a legegyszerűbb és legkönnyebben érthető megoldási mód megtalálása, és a rossz választási lehetőségek hibáinak felismerése.
+ (-1) \ (^{n} \) \ (\ frac {π} {2} \), ahol n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ……. ⇒ x = nπ + (-1) \ (^{n} \) \ (\ frac {7π} {6} \) ⇒ x = …….., \ (\ frac {π} {6} \), \ (\ frac {7π} {6} \), \ (\ frac {11π} {6} \), \ (\ frac {19π} {6} \), …….. vagy x = nπ + (-1) \ (^{n} \) \ (\ frac {π} {2} \) ⇒ x = …….., \ (\ frac {π} {2} \), \ (\ frac {5π} {2} \), …….. Ezért az adott egyenlet megoldása. 0 ° és 360 ° között \ (\ frac {π} {2} \), \ (\ frac {7π} {6} \), \ (\ frac {11π} {6} \) azaz 90 °, 210 °, 330 °. 2. Oldja meg a sin \ (^{3} \) trigonometriai egyenletet x + cos \ (^{3} \) x = 0 ahol 0 ° sin \ (^{3} \) x + cos \ (^{3} \) x = 0 ⇒ tan \ (^{3} \) x + 1 = 0, mindkét oldalt elosztva cos x -el ⇒ tan \ (^{3} \) x + 1 \ (^{3} \) = 0 ⇒ (tan x + 1) (tan \ (^{2} \) x - tan x. + 1) = 0 Ezért vagy, tan. x + 1 = 0 ………. (i) vagy, tan \ (^{2} \) x - tan θ + 1 = 0 ………. ii. Innen kapjuk, tan x = -1 ⇒ tan x = cser (-\ (\ frac {π} {4} \)) ⇒ x = nπ - \ (\ frac {π} {4} \) Innen (ii) kapjuk, tan \ (^{2} \) x - tan θ + 1 = 0 ⇒ tan x = \ (\ frac {1 \ pm.
Példa. 1 2 π + k · 2π 6 5π + k · 2π 6 1 − 2 π − + k · 2π 6 5π − + k · 2π 6 (k ∈ Z) Oldjuk meg a következ® egyenletet a valós számok halmazán! sinx = 1 + cosx 1 − cosx Kikötés: 1 − cosx 6= 0 cosx 6= 1 x 6= k · 2π sinx sinx sinx sinx sinx 0 0 = = = = = = = (1 + cosx)(1 − cosx) 1 − cos2 x 1 − (1 − sin2 x) 1 − 1 + sin2 x sin2 x sin2 x − sinx sinx · (sinx − 1) Egy szorzat 0, ha valamelyik szorzótényez®je 0. sinx x sinx − 1 sinx x = = = = = 6 0 k·π 0 1 π + k · 2π 2 A kikötés miatt az x = k · π megoldások közül nem mindegyik jó, csak a páratlan együtthatójúak. A megoldások tehát: x1 = π + k · 2π π x2 = + k · 2π 2 (k ∈ Z) 7 4. 1. Oldjuk meg a következ® egyenletet a valós számok hal 5π π = tg 3x + tg 7x − 3 3 π 5π 7x − = 3x + + kπ 3 3 4x = 2π + kπ π kπ x = + 2 4 (k ∈ Z) 4. Példa. Oldjuk meg a következ® egyenletet a valós számok halmazán! y1, 2 tg 2 x − 4tgx + 3 y 2 − 4y + 3 √ 4 ± 16 − 12 = 2 y1 tgx1 x1 y2 tgx2 x2 = 0 = 0 4±2 = 2 = 3 = 3 = 71, 57◦ + kπ = 1 = 1 = 45◦ + kπ A megoldások tehát: x1 = 71, 57◦ + kπ x2 = 45◦ + kπ (k ∈ Z) 8 4.
Katolikus Rádió / Édesanyám főztje interjú (2022. 04. 03. ) Az a megtiszteltetés ért, hogy a Katolikus Rádió felkért egy interjúra az Édesanyám főztje című gasztronómiai műsorukban. A videó megtekintése előtt annyit elárulhatok, hogy egy… Bővebben » Katolikus Rádió / Édesanyám főztje interjú (2022. ) Alufóliában sült zöldséges csirkemell Nekem ez az étel a nyári grillezés ízeit és színeit varázsolja elém. Mégis egyszerűen megoldható, kényelmesen a konyhánkban. Héjában sült cela fait. Nem kell mereven ragaszkodni a… Bővebben » Alufóliában sült zöldséges csirkemell Almás krémes II. Imádom az almás pitét, de most valami másra vágytam. Ez a sütemény tényleg nagyon finom. Az almától pikáns, kicsit savanykás, a… Bővebben » Almás krémes II. Juharszirupos lazac A lazac rózsaszínes-narancsos húsa szálkamentes és a tonhalhoz hasonlóan sok omega 3 zsírsavat tartalmaz. Kivételes ízének és rendkívüli tápértékének köszönhetően népszerű étel az… Bővebben » Juharszirupos lazac Tepsis burgonya gombával és húsgolyókkal A burgonyába rejtett húsgolyó egy fantasztikus egytálétel, ami tepsiben készül.
Ez az étel könnyen elkészíthető és akár diétába is beilleszthető, de természetesen nem krokettel, hanem egy könnyű… Bővebben » Joghurtos fokhagymás csirkemell krokettel