Vagyis a mértani sorozat n-edik (nem első) tagja vele szomszédos két tag mértani közepe. Sőt ezt általánosabban is írhatjuk: \( a_{n}=\sqrt{a_{n-i}·a_{n+i}} \) , n>i. Amit úgy is fogalmazhatunk, hogy a mértani sorozat n-edik eleme (n>1) mértani közepe a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő két másik tagnak. Már az ókori egyiptomiak is ismerték a számtani és mértani sorozatot. Erről árulkodik az un. Rhind-papirusz, amely Kr. e. 1750 körül készült. A fenti 2. példán láttuk, hogy a negyedik négyzet oldala: a 4 =a 1 ⋅(√2) 3. Tehát azt kaptuk, hogy a negyedik négyzet oldala kifejezhető a sorozat első tagjának és a sorozat állandójának (q) segítségével. Ez általánosan is megfogalmazható: A mértani sorozat n-edik tagjának meghatározása A mértani sorozat n-edik tagja kifejezhető a sorozat első tagjának és a sorozat állandójának (q) segítségével a következő módon: a n =a 1 ⋅q n-1. Bizonyítás: Az állítás helyességét teljes indukció val fogjuk belátni. Közben felhasználjuk a sorozat definícióját, miszerint: a n = a n-1 ⋅q.
A sorozat első eleme a 1, a tetszőleges tagja a n. A sorozat bármely tagját kifejezhetjük az a 1 és a d segítségével: a n = a 1 + (n - 1) ∙ d. Ha három szomszédos tagot felírunk, akkor megkaphatjuk, hogy a középső tag a 2 szomszédos tag számtani közepe! A három szomszédos tag: a n- 1, a n és a n+ 1. A középső tagot pedig így kapjuk meg: Ha tudni szeretnénk az első n tag összegét, akkor a következő képletre van szükségünk! Miben különbözik a mértani sorozat? A mértani sorozat olyan sorozat, ahol bármelyik tag és az azt megelőző tag hányadosa állandó. A hányadost kvóciensnek nevezzük és q betűvel jelöljük. A hányados csak nullánál nagyobb értékű lehet! A számtani sorozattól lényeges eltérés az, hogy míg a számtani sorozatnál hozzáadással növekszik az érték, addig a mértani sorozatnál szorzással. A mértani sorozat tetszőleges, n -edik tagját a n -nel jelöljük. Az n -edik tagot a következő képlettel kaphatjuk meg: a n = a 1 ∙ q (n - 1). A kvóciens ugyanazt a szerepet látja el, mint a differencia: megadja, hogy milyen előjelű a változás, és hogy a sorozat növekszik, vagy esetleg csökken.
A legkisebb felső korlát a sorozat első tagja. A mértani sorozat ebben az esetben konvergens. 6. Ha -1
Sulinet Tudásbázis, Mértani sorozat,
1. A definíció felhasználásával belátjuk az állítást az első náhány konkrét n értékre: a 2 =a 1 ⋅q definíció szerint. a 3 =a 2 ⋅q a definíció szerint, de felhasználva az a 2 -re kapott kifejezést: a 3 =a 1 ⋅q 2. 2. Indukciós feltevés: Feltételezzük, hogy n olyan index, amire még igaz: a n =a 1 ⋅q n-1. Ilyen az 1. pont szerint biztosan van. 3. Ezt felhasználva, bebizonyítjuk, hogy a rákövetkező tagra is igaz marad, azaz: a n+1 =a 1 q n. Tehát azt, hogy a tulajdonság öröklődik. Definíció szerint az n-edik tag után következő tag: a n+1 =a n ⋅q. Itt a n helyére behelyettesítve az indukciós feltételt: a n+1 =(a 1 ⋅q n-1)⋅q. Egyszerűbben: a n+1 =a 1 q n. Ezt akartuk bizonyítani. A mértani sorozat tagjainak összege Állítás: Mértani sorozat első n tagjának összege: \( S_{n}=\frac{a_{1}·\left(q^n-1\right)}{q-1} \; q≠1 \) . Írjuk fel az első n tag összegét tagonként: S n =a 1 +a 2 +a 3 +…+a n-2 +a n-1 +a n. Majd felhasználva az n-edik tagra fent bizonyított képletet: 1) S n =a 1 +a 1 ⋅q+a 1 ⋅q 2 +…+a 1 ⋅q n-3 +a 1 ⋅q n-2 +a 1 ⋅q n-1.
Előzetes tudás Tanulási célok Narráció szövege Kapcsolódó fogalmak Ajánlott irodalom A tanegység feldolgozásához ismerned kell: a százalékszámítást a mértani sorozatot a kamatoskamat-számítást Ebben a tanegységben a betétekről és a hitelekről lesz szó. Látsz néhány példát a pénzügyi számításokra, és megtudod néhány gyakran hallott szakkifejezés jelentését. Napjainkban pénzügyi ismeretekre mindenkinek szüksége van a helyes döntések meghozatalához. A Kálmán családnak van 550000 Ft-ja. Öt hónap múlva nyaralni mennek, addig azonban be szeretnék fektetni. Az egyik bank ajánlatát mutatja a táblázat. Számoljuk ki, mennyit kamatozik a pénzük 5 hónap alatt, ha ezt a bankot választják! A táblázatban szereplő EBKM, az egységes betéti kamatlábmutató az egyes lekötött betétekre egy év alatt elérhető kamat mértéke. Eltérhet az éves kamattól, mert a lekötés nem mindig 1 évre szól, kiszámításakor pedig a felmerülő költségeket is figyelembe veszik. 5 hónapos lekötés nem szerepel a táblázatban, a 6 hónap már sok, tehát előbb 2 hónapra, majd 3 hónapra vagy fordítva tudják lekötni Kálmánék a pénzüket.
A számtani és mértani középen kívül értelmezzük még a számok négyzetes és a harmonikus közepét is.
Legújabb gyűjteményünkben kedvenc tavaszhívogató verseinket szedtük csokorba. Készítsük fel a legkisebbeket is a fecskék, virágok érkezésére, várjuk együtt a márciust és a kellemes időt a magyar költők legszebb soraival. Az élménydús közös várakozás biztosan megszépíti majd a tél hátralévő napjait. Weöres Sándor: Olvadás Csipp csepp, Egy csepp, Öt csepp, Meg tíz, Olvad a jégcsap, Csepereg a víz. Zelk Zoltán: Tavaszi dal Egy, kettő, három, négy, kis őzike, hová mégy? -Elég, hogyha tudom én: tavasz elé futok én! te kis nyuszi hová mégy? -Se erdőbe, se rétre: a szép tavasz elébe! Egy kettő, három, négy, te kis madár vígan légy: olyan szép dalt daloljál, szebb legyen a tavasznál! Donászy Magda: Hóvirág – Hóvirágom, virágom, mi újság a világon? – Véget ért a hosszú tél, simogat az enyhe szél, melegebben süt a nap újra szalad a patak. Hallottam a cinegék kikeleti énekét, tavasz jár a határon. – Ó, be szép ez virágom! Gazdag Erzsi: Tavaszt hirdető pipitér "Jön a tavasz! Jön bizony! Itt lépked a pázsiton. "
1) Ki írta a verset? a) Zelk Zoltán b) Petőfi Sándor c) Csanádi Imre 2) Hány versszakból áll a vers? a) 4 b) 3 c) 6 3) Hány sorból áll egy versszak? a) 2 b) 3 c) 4 4) Mely állatok szerepelnek na versben? a) őzike, nyúl, rigó b) őzike, veréb, nyúl c) őzike, nyúl, madár Ranglista Ez a ranglista jelenleg privát. Kattintson a Megosztás és tegye nyílvánossá Ezt a ranglistát a tulajdonos letiltotta Ez a ranglista le van tiltva, mivel az opciók eltérnek a tulajdonostól. Bejelentkezés szükséges Téma Beállítások Kapcsoló sablon További formátumok jelennek meg a tevékenység lejátszásakor.
Ezt mondja a kis pipitér, Kinek szava is százat ér. Nézd, hogy virít, hogy integet! Neked beszél, csakis neked. Százszorszép szemét rád veti… Higgyél neki! Higgyél neki! Még minden bokor alszik itt, Csupán a százszorszép virít. A dermedt parknak gyér füvén A tavaszt hirdeti szegény. A tavaszt hirdeti szegény, Gyenge kis árva pipitér. Mindaddig mondja, hirdeti, Míg a tavasz is hisz neki, S kibontva napsugár-haját Kacagva jön a parkon át. A pipitér megöleli, Öle virággal lesz teli. Csanádi Imre: Tavasz-ébresztő Ébredj új tavasz, jégtörő, sugaras, gallyat lombosító, rügyet rojtosító, mindenféle madarakat víg versre tanító! Zelk Zoltán: Hóvirágok, ibolyák "Jó reggelt, Nap, ég, hegyek, aludtunk egy éven át.. "Így köszönnek a kibújó hóvirágok, ibolyák. "Jó reggelt, szél, fellegek, jó reggelt, te szép világ! " Bólogat a kék ibolya, nevetgél a hóvirág. "Jó reggelt, fa, kis bogár, mikor hajt rügyet az ág? Mikor lesz az ágon levél, levelek közt száz virág? " "Jó reggelt, virágszedők, Örül, aki minket lát…" Jő a tavasz, hirdetik a Hóvirágok, ibolyák.
345 Views Hirdetés Jöjjön Zelk Zoltán: Tavaszi dal verse. Egy, ketto, három, négy, kis ozike, hová mégy? – Elég hogyha tudom én: tavasz elé futok én! te kis nyuszi, hová mégy? – Se erdobe, se rétre: a szép tavasz elébe! te kis madár, vígan légy: olyan szép dalt daloljál, szebb legyen a tavasznál! Köszönjük, hogy elolvastad Zelk Zoltán költeményét. Mi a véleményed a Tavaszi dal írásról? Írd meg kommentbe!
Csilingel a gyöngyvirág Fehér a ruhája, Meghívja a virágokat Tavasz esti bálra. Öltözik az orgona, Lila a ruhája. Kivirít a kankalin, A szegfű, és a mályva. A vadrózsa rájuk nevet, Bolondos a kedve, A rigó is füttyent egyet. "hej mi lesz itt este! " Táncra perdül a sok virág, Illat száll a légben, Őrt állnak a gesztenyefák, Illemtudón, szépen. A szellő is megfürdik A virágillatban, S arra ébredünk fel reggel Napsugaras nyár van! ÁKOMBÁKOM Egyszer régen az irkámon, született egy ákombákom. Hát egyszer csak látom, látom: két lábra áll az irkámon, úgy indul el ákombákom. Azt hittem, már sose látom, oly messze ment ákombákom, de mikor az erdőt járom, ül az ágon ákombákom, s rajta van a nagykabátom. Szólok hozzá: "Ákombákom, mért vitted el a kabátom? Eső esik, mindig ázom, hideg szél fúj, mindig fázom... Légy olyan jó, ákombákom: add vissza a nagykabátom! " S képzeljétek, jövő nyáron, eljött hozzám ákombákom: s visszaadta nagykabátom. Vers a két kis fókáról Északsarki cukrászdába, ami éjjel-nappal zárva, minden reggel s délután beállít egy fókafiú és vele egy fókalány.
Hát amint ott futott, szaladt, szemben vele farkas haladt: -Szaladj te is, komám, farkas, jaj, mit láttam, idehallgass! Az erdő közepén jártam, most is borsódzik a hátam, sosem láttam ilyen szörnyet, ottan ültek három szörnyek! Három nyúl volt, és akkora, fél méter is volt egy foga! Hogy eztán csak farkast esznek... No hiszen egyéb se kellett, a farkas is futni kezdett. a rókával versenyt futott, majdnem az orrára bukott. Addig futott, amíg szembe nem jött vele egy nagy medve; a medve így szólongatta: "Hova szaladsz, farkas koma? " -Medve komám, ne is kérdjed, szaladj, ha kedves az élted! Erdő közepében jártam, jaj, mit láttam, jaj, mit láttam! Három nyulak ottan ültek, éppen ebédre készültek. Akkora volt foguk, szájuk, kis egérke vagy hozzájuk! Hogy eztán csak medvét esznek! - Egyébre se volt már kedve, szaladni kezdett a medve. Elől róka, hátul medve, közbül a farkas lihegve. Így szaladtak erdőszélre, szomszéd erdő közepébe. Szaporán szedték a lábuk, szellő se érjen utánuk... Amíg futottak lihegve, egy vadász jött velük szembe, Nézi is őket nevetve: együtt szalad róka, medve... "No hiszen, csak ne nevessél, vigyázz, nehogy bajba essél!