Interaktív másodfokúra visszavezethető trigonometrikus egyenlet KERESÉS Információ ehhez a munkalaphoz Szükséges előismeret Másodfokú egyenlet, megoldóképlet. Módszertani célkitűzés Az új változó bevezetésének felismerése és gyakoroltatása, valamint az egyenletek célirányos megoldásának bemutatása. A másodfokúra visszavezethető trigonometrikus egyenletek gyakorlása interaktív lehetőséggel összekötve, azonnali visszajelzés jó és rossz válasz esetén is. Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként Könnyű, nem igényel külön készülést. Módszertani megjegyzés, tanári szerep A megoldáshoz felkínált rossz válaszlehetőségek a diákok által gyakran elkövetett típushibákat jelenítik meg. A trigonometrikus egyenlet általános megoldása | Trigonometrikus egyenlet megoldása. Elképzelhető, hogy a feladatban fel nem sorolt más helyes megoldási módszer is alkalmazható lenne az egyenlet megoldásához. Ha van rá mód, a tanár kitérhet a különféle módszerek bemutatására is. Jelen esetben a tanegység célja a legegyszerűbb és legkönnyebben érthető megoldási mód megtalálása, és a rossz választási lehetőségek hibáinak felismerése.
Lássuk mi történik a másik esetben. Szintén tipikus csel, hogy az egyenletben először alkalmazni kell ezt az azonosságot és kapunk másodfokú egyenletet. Lássunk egy ilyet is. Az egyenletben első fokon cosx szerepel, ezért akkor járunk jól, ha mindenhol cosx lesz. Trigonometrikus egyenletek - Valaki tudna segiteni ezekben a masodfoku trigonometrikus egyenletekben? Levezetessel egyutt!!. Most pedig lássunk egy izgalmasabb egyenletet. A szinusz úgy működik, hogy a kék megoldást a számológép adja, a zöld megoldás pedig úgy jön ki, a két szög összege mindig egy egyenest kell, hogy adjon. A koszinusz sokkal kellemesebb, itt a kék megoldást adja a számológép, a zöld pedig mindig ennek a mínuszegyszerese. A tangens úgy működik, hogy a kék megoldást a számológép adja, a periódus pedig nem hanem. A koszinusz a szokásos.
Példa. 1 2 π + k · 2π 6 5π + k · 2π 6 1 − 2 π − + k · 2π 6 5π − + k · 2π 6 (k ∈ Z) Oldjuk meg a következ® egyenletet a valós számok halmazán! sinx = 1 + cosx 1 − cosx Kikötés: 1 − cosx 6= 0 cosx 6= 1 x 6= k · 2π sinx sinx sinx sinx sinx 0 0 = = = = = = = (1 + cosx)(1 − cosx) 1 − cos2 x 1 − (1 − sin2 x) 1 − 1 + sin2 x sin2 x sin2 x − sinx sinx · (sinx − 1) Egy szorzat 0, ha valamelyik szorzótényez®je 0. sinx x sinx − 1 sinx x = = = = = 6 0 k·π 0 1 π + k · 2π 2 A kikötés miatt az x = k · π megoldások közül nem mindegyik jó, csak a páratlan együtthatójúak. A megoldások tehát: x1 = π + k · 2π π x2 = + k · 2π 2 (k ∈ Z) 7 4. 1. Oldjuk meg a következ® egyenletet a valós számok hal 5π π = tg 3x + tg 7x − 3 3 π 5π 7x − = 3x + + kπ 3 3 4x = 2π + kπ π kπ x = + 2 4 (k ∈ Z) 4. Trigonometrikus egyenletek megoldása | mateking. Példa. Oldjuk meg a következ® egyenletet a valós számok halmazán! y1, 2 tg 2 x − 4tgx + 3 y 2 − 4y + 3 √ 4 ± 16 − 12 = 2 y1 tgx1 x1 y2 tgx2 x2 = 0 = 0 4±2 = 2 = 3 = 3 = 71, 57◦ + kπ = 1 = 1 = 45◦ + kπ A megoldások tehát: x1 = 71, 57◦ + kπ x2 = 45◦ + kπ (k ∈ Z) 8 4.
Megjegyzés. Ezek a helyek: tgx = 0 ⇐⇒ x = 0◦ + k · π(k ∈ Z) A megoldások tehát: x1 ≈ 69, 09◦ + k · 180◦ x2 ≈ 20, 91◦ + k · 180◦ (k ∈ Z) 3 3. 1. mazán! Példa. Oldjuk meg a következ® egyenletet a valós számok hal4 · cos2 x = 1 1 cos2 x = 4 1 2 π + + k · 2π 3 π − + k · 2π 3 2π + + k · 2π 3 2π + k · 2π − 3 (k ∈ Z) cosx = ± x1 = x2 = x3 = x4 = 3. Példa. Oldjuk meg a következ® egyenletet a valós számok halmazán! √ π 2 sin 5x − = − 4 2 π π = − + k · 2π 5x − 4 4 5x = 0 + k · 2π k · 2π x = 5 5π π 5x − = + k · 2π 4 4 6π 5x = + k · 2π 4 3π + k · 2π 5x = 2 3π k · 2π x = + 10 5 A megoldások tehát: k · 2π 5 3π k · 2π = + 10 5 (k ∈ Z) x1 = x2 4 3. Példa. Oldjuk meg a következ® egyenletet a valós számok halmazán! cosx = 0 1 + cos2x Kikötés: 1 + cos2x 6= 0 cos2x 6= −1 2x 6= π + k · 2π π x 6= + kπ 2 cosx = 0 π x1, 2 = ± + k · 2π 2 A kikötés miatt nincs megoldás. Példa. Oldjuk meg a következ® egyenletet a valós számok halmazán! 1 2 1 1 − sin2 x − sin2 x = 2 1 1 − 2sin2 x = 2 1 −2sin2 x = −1 2 1 −2sin2 x = − 2 1 2sin2 x = 2 1 2 sin x = 4 1 sinx = ± 2 cos2 x − sin2 x = 5 Mindkét esetben (sinx = 1 2 és sinx = − 12) két megoldáshalmaz van: sinx = x1 = x2 = sinx = x3 = x4 = 3.
Szerző: Geomatech Másodfokúra visszavezethető trigonometrikus egyenlet megoldása magyarázattal. Következő Másodfokúra visszavezethető trigonometrikus egyenlet 2. Új anyagok gyk_278 - Szöveges probléma grafikus megoldása Sinus függvény ábrázolása - 1. szint másolata Leképezés homorú gömbtükörrel Mértékegység (Ellenállás) Háromszög magasságpontjának helyzete másolata Anyagok felfedezése Pénzérme rácson (Geometriai valószínűség) Geomatech szenzorok:-) 01 (a-b)^2 Csonkagúla Kerületi szögek tétele Témák felfedezése Egészek Hisztogram Metszet Kúp Egységkör
Velő Gábor { Matematikus} válasza 4 éve πππ1. 2*sinx=tgx / tgx= sinx/cosx 2*sinx= sinx/cosx / szorzunk cosx-szel, feltéve hogy cosx≠0-val 2*sinx*cosx=sinx /kivonunk mindkét oldalból sinx-et: 2*sinx*cosx-sinx=0 /kiemelünk sinx-et: sinx*(2cox-1)=0 / egy szorzat akkor 0, ha valamelyik tényező 0, ezért vagy: sinx=0 vagyis x=k*π vagy: 2cosx-1=0 /+1 2cosx=1 /:2 cosx=0, 5 /a koszinusz függvény 0⁰-360⁰ között két helyen veszi fel a 0, 5-ös értéket: π/3 -nál és 5π/3 -nál. Így ennek az egyenletnek a megoldása: x₁= π/3 +k*2π és x₂= 5π/3 +l*2π, ahol k, l∈Z Összesen tehát 3 megoldása volt ennek az egyenletnek! 2 sinx/tgx = 1/2 /tgx≠0 (mert akkor értelmetlen lenne), ezért x≠k*π szorzunk tgx-szel: sinx= tgx/2 /szorzunk 2-vel: 2sinx=tgx /tgx= sinx/cosx 2sinx= sinx/cosx / szorzunk cosx-szel, feltéve hogy cosx≠0-val vagy: sinx=0 vagyis x=k*π (azonban, ezt már kizártuk korábban) Ennek a feladatnak 2 megoldása volt. 3. tgx=ctgx / ctgx= 1/tgx tgx= 1/tgx / tgx≠0, (mert akkor értelmetlen lenne), ezért x≠k*π tg²x=1, amiből tgx=1 vagy tgx=-1 ha tgx=1, akkor x= π/4 +k*π ha tgx=-1, akkor x= -π/4 +k*π Azonban a két megoldás pont egymás ellentétei, ezért elég felírni, hogy: x= π/4 +k* π/2 = π/4 *(1+2k) 0
Erre kiváló példa a tisztújító közgyűlés után kezdődő 2020 FISU World Forum, a MEFS, a Testnevelési Egyetem (TE) és a Digitális Jólét Program (DJP) közös rendezésében, ami a helyszíni rendezvény elmaradás után az online térben 102 ország 1400 regisztrálójával zajlik. Mivel a magyar kormány stratégiai ágazatként tekint a sportra, fontos, hogy a felsőoktatási sport és a MEFS továbbra is támogassa az egyetemeken keresztül az élsportolókat és a rekreációs célú szabadidősportot. " Dr. Szabó Tünde kiemelte, hogy a felsőoktatásban töltött esztendők az utolsók, ahol még közvetlenül hatni tudunk a fiatal generációkra az egészséges életmód kialakítása érdekében. Dr. Dr mocsai gergely facebook. Kulcsár Krisztián a MOB elnöke köszöntő beszédében hangsúlyozta, hogy a MOB fontos szövetségese a MEFS-nek. Gratulált a szervezőknek a 2020 FISU World Forum megrendezéséhez, majd zárszóként megköszönte az elnökség eddigi kiemelkedő munkáját és az önmagukért beszélő kiváló eredményeket. Itt kell elmondani, hogy Dr. Sterbenz Tamás a Testnevelési Egyetem általános rektorhelyettese zárszavában megköszönte a tagság és az elnökség elmúlt négyéves munkáját és sikeres munkát kívánt az új elnökségnek.
Ferencz Anna, az egyetem válogatott atlétája, végzős osztatlan tanár szakos hallgató terjesztette kérelmét a Szenátus elé, amelyet követően a végzős hallgatók letették esküjüket és kézfogás kíséretében átvették diplomájukat Sterbenz Tamástól. Az eseményen a hallgatók nevében Varga Boglárka, friss diplomás testnevelő-, egészségtan- gyógytestnevelő tanár búcsúzott el az intézménytől. A beszédről, zárógondolatai közben Prof. NEKA - Akadémia - Szervezeti Felépítés. Dr. Mocsai Lajos is említést tett, amikor felhívta a figyelmet az előtte elhangzó "világos, tiszta és előremutató gondolatokra. " Az egyetemet fenntartó alapítvány kuratóriumi elnöke a hallgatók felelőségéről és a szakmai hozzáállás jelentőségéről is beszélt, megköszönve a szülők támogatását. "Mindig visszavárunk bennetek, a Magyar Testnevelési és Sporttudományi Egyetem kapuja mindig nyitva áll előttetek, akár tanácsért, akár együttműködést keresve jöttök hozzánk. Várunk! " Mindezt Mocsai Lajos és az intézmény rektora, Sterbenz Tamás is megemlítette az ünnepség végén.
Gratulálunk diplomás hallgatóinknak! fotó: Vidor Gergely
A tavalyi, a koronavírus-járvány miatt rendhagyó módon megtartott téli diplomaátadó ünnepség után idén újra hagyományos formában, vendégek jelenlétében rendezték meg a Magyar Testnevelési és Sporttudományi Egyetem téli diplomaosztóját. A február 11-én, az Athén teremben megtartott eseményen 80 frissen végzett hallgató vette át oklevelét, egy fő pedig habilitációs oklevelet kapott. A rendezvényen, amelyen intézményünk vezetőségét Prof. dr. h. c. Mocsai Lajos, az egyetemet fenntartó alapítvány kuratóriumi elnöke, dr. Igaz (könyv) - Mócsai Gergely | Rukkola.hu. habil. Sterbenz Tamás rektor, dr. Lacza Zsombor tudományos és innovációs rektorhelyettes, Prof. Genzwein Ferenc kancellár, a kuratóriumi elnökség és a Szenátus tagjai képviselték, a többciklusú képzési struktúrában az osztatlan, a mesterképzési és az alapképzési szakokon végzők vették át diplomájukat. Először Sterbenz Tamás köszöntötte az egybegyűlteket. A rektor beszédében kitért az egyetemi modellváltás előnyeire, a jövőbeni fejlesztésekre, az egyetem képzési struktúrájának, valamint oktatási tartalmának és módszereinek átalakítására, amelyek az élethosszig tartó tanulás valódi értékeit formálják.
Elfogadta a modellváltó Testnevelési Egyetemet 2021. augusztus 1-től fenntartó, közfeladatot ellátó közérdekű vagyonkezelő alapítvány kuratóriumi elnöki felkérését Prof. Dr. h. c. Mocsai Lajos. A TE-n 43 éve oktató szakember hamarosan lemond rektori tisztségéről, így a Szervezeti és Működési Szabályzat értelmében az általános rektorhelyettes, Dr. habil. Sterbenz Tamás veszi át az egyetem vezetését az új rektor megválasztásáig. Rukkola Könyvcserélde - rukkolj, happolj, olvass | Rukkola.hu. A TF Mocsai Lajos t kérdezte az új munkaköréről. A Pedagógus napi ünnepségen tartott köszöntő beszédében mondta el, hogy elvállalta a Testnevelési Egyetemért Alapítvány kuratóriumi elnöki tisztségét, amely nem összeegyeztethető a rektori munkával. Mindez mikor dőlt el? Először is fontos leszögezni, hogy az alapítvány és a kuratórium bejegyzése még nem történt meg, folyamatban van. A kérdésre válaszolva: A felkérés elfogadása két fontos szakaszra bontható. Az első, a modellváltásról szóló, a Testnevelési Egyetem Szenátusának ellenszavazat nélküli döntése után alakult ki, amikor az alapvető kérdés az volt, kik alkotják majd az Alapítvány kuratóriumát?