Prímszámok eloszlása, elhelyezkedése a természetes számok között. o Prímszámok száma végtelen. o Ha a prímszámok elhelyezkedését vizsgáljuk, azt találjuk, hogy minél nagyobb számokból álló intervallumban keresünk, annál kevesebb számú prímet találunk. Prímszámok 1 től 100 ig. Például: 0 és a 100 között 25 db prím 900 és 1000 között 14 db prím 10 000 000 és 10 000 100 között 2 db prím Egy más megközelítésben: Meddig Prímszámok száma% 10-ig 4 db 40% 100-ig 25 db 25% 1 000-ig 168 db 17% 10 000-ig 1229 db 12% Gauss 1791-ben, 14(! ) éves korában becslést adott erre, azt találta, hogy ezres számkörben a prímszámok száma fordítottan arányos a számok logaritmusával. Ezt később többen, például Riemann német matematikus is pontosították o Ikerprímek, mint azt a prímszámok fogalmánál már láthattuk, azok, amelyek különbsége 2. Azaz közel vannak egymáshoz. Úgy tűnik, végtelen sok ikerprím van, de ezt még mind a mai napig nem sikerült bizonyítani. o Bizonyított azonban, hogy a prímszámok között tetszőleges nagy hézagok vannak (amely számok között nincs prímszám).
o Bizonyított az is, hogy minden természetes szám és kétszerese között van prímszám. (Csebisev tétel. ) o Nem bizonyított viszont, hogy két négyzetszám között mindig van prímszám. Különböző fajta prímek: A páratlan prímszámok alapvetően két osztályba sorolhatók: • 4n+1 alakú, ahol n pozitív egész. Például: 5, 13, 17, stb. • 4n-1 alakú prímek, ahol n pozitív egész. Például: 3, 7, 11, stb. Fermat tétele, hogy a 4n+1 alakú prímek mindig előállíthatók két négyzetszám összegeként (pl. 13=2 2 +3 2), míg a 4n-1 alakú prímekre ez nem teljesül. Ez a tétel is azok közé tartozik, amelynek bizonyítását Fermat nem közölte. Jóval halála után Euler bizonyította be. A prímszámokat csoportosíthatjuk még: 1. a⋅n + b alakú prímszámok, ahol n egész, és (a, b)=1, azaz relatív prímek. Ha n végigfut a nem-negatív egész számokon, akkor ezek a számok adott a és b esetén egy számtani sorozatot alkotnak. Bebizonyítható, hogyha (a;b)=1, akkor ebben a számtani sorozatban végtelen sok prímszám lesz. De persze nem mindegyik.
Programkód Pythonban [ szerkesztés] #! /usr/bin/env python # -*- coding: utf-8 -*- from math import sqrt n = 1000 lst = [ True] * n # létrehozunk egy listát, ebben a példában 1000 elemmel for i in range ( 2, int ( sqrt ( n)) + 1): # A lista bejárása a 2 indexértéktől kezdve a korlát gyökéig if ( lst [ i]): # Ha a lista i-edik eleme hamis, akkor a többszörösei egy előző ciklusban már hamis értéket kaptak, így kihagyható a következő ciklus. for j in range ( i * i, n, i): # a listának azon elemeihez, melyek indexe az i-nek többszörösei, hamis értéket rendelünk lst [ j] = False for i in range ( 2, n): # Kiíratjuk azoknak az elemeknek az indexét, melyek értéke igaz maradt if lst [ i]: print ( i) Jegyzetek [ szerkesztés] Források [ szerkesztés] Κόσκινον Ἐρατοσθένους or The Sieve of Eratosthenes (Being an Account of His Method of Finding All the Prime Numbers), Rev. Samuel Horsley, F. R. S. = Philosophical Transactions (1683–1775), 62(1772), 327–347. További információk [ szerkesztés] Animált eratoszthenészi szita 1000-ig Java Script animáció
Például 2 10 =1024. Ha az 1024-et elosztjuk 10+1=11-el, akkor a maradék 1 lesz. A 11 pedig tényleg prím. Ha viszont a 2 11 =2048-al tesszük ugyanezt, azaz 2048-at elosztjuk 11+1=12-vel, akkor 8-at kapunk maradékul, nem 1-et, de hát a 12 nem is prím. Ezek egyszerű példák, de az a p-1 -nek p-vel való osztási maradékának a meghatározása viszonylag hatékony, ezért ez egy elég jó eljárás egy szám összetettségének megállapítására.
Tehát a prímszám oldalszámú sokszögek közül szerkeszthető a 3, 5, 17, 257 és a 65537 oldalú szabályos sokszög. A 17 oldalú sokszög szerkesztését maga Gauss oldotta meg. 4. 2 p -1 alakú, Mersenne-féle prímek. (p prímszám). Marin Mersenne (1588. 09. 08. – 1648. 01) francia matematikus, minorita szerzetesről kapta a nevét, aki Descartes osztálytársa volt. Ezek a prímek azért is nevezetesek, mert az ismert legnagyobb prímek mind ilyen alakúak. Mindössze 38 db. Mersenne prím volt ismert 2000. évig. Melyik az ismert legnagyobb prímszám? A legkisebb prímszám a 2, az egyetlen páros prím.. Bár tudjuk, hogy nem létezik legnagyobb prímszám, ennek ellenére a matematikusok egyre nagyobb prímszámok után kutatnak. Sokáig (számítógépek előtti korszakban)a 2 127 -1 tartotta a rekordot, ez a szám is több mint 10 38! A számítástechnika színrelépésével következtek: 2 2281 -1, majd 2 3217 -1, és 2 4423 -1 prímszámok. Az 1996-ban indult GIMPS projekthez világszerte több mint százezer önkéntes csatlakozott, akik mind egy ingyenesen letölthető szoftvert telepítettek a számítógépükre.
WriteLine ( "Kérem N értékét: ");
string s = Console. ReadLine ();
int n = Convert. ToInt32 ( s);
bool [] nums = new bool [ n];
nums [ 0] = false;
for ( int i = 1; i < nums. Length; i ++)
{
nums [ i] = true;}
int p = 2;
while ( Math. Pow ( p, 2) < n)
if ( nums [ p])
int j = ( int) Math. Pow ( p, 2);
while ( j < n)
nums [ j] = false;
j = j + p;}}
p ++;}
for ( int i = 0; i < nums. Length; i ++)
if ( nums [ i])
Console. Write ( $"{i} ");}}
Console. ReadLine ();
Programkód C++-ban [ szerkesztés]
Optimális C++ kód, fájlba írással
//Az első M (itt 50) szám közül válogassuk ki a prímeket, fájlba írja az eredményt - Eratoszthenész Szitája
#include
Az így létrehozott hálózat, a PrimeNet olyan, mint egy virtuális szuperszámítógép, másodpercenként 29 billió művelet végrehajtására képes, amely valóban a szuperszámítógépekéhez fogható teljesítmény. A két újjal együtt a GIMPS mostanáig 12 Mersenne-prímmel gazdagította az emberiséget. A következő pályázat díja 150 ezer dollár. Az kapja meg, aki százmilliónál több jegyből álló Mersenne-prímszámot talál. 2016-ban talált prímszám: 2018-ban talált prímszám:. Ez a prímszám 23 249 425 számjegyet tartalmaz és ez 50. ismert Mersenne-prím is. (2 77 232 917 –1). 2018. év végén talált 51. Mersenne-prím már 24, 862, 048 számjegyből áll. (2 82 589 933 –1) Az eddig ismert nagyon nagy prímszámok közül néhányat megtalálsz ebben a táblázatban. Hogyan lehet egy számról megállapítani, hogy prím-e? A fenti gigantikus méretű számoknál bizony nagyon nehéz. De ezeknél jóval kisebb számoknál sem egyszerű. A második Fermat tétel néha segít ennek eldöntésében. A második, vagy kis-Fermat tétel a következőt mondja ki: Ha p prímszám, a pedig egy olyan tetszőleges egész szám, amely nem osztható p -vel, akkor az a p-1 -t p -vel osztva 1 -t ad maradékul.
Informatikatanári rövid ciklusú mesterképzés Egyes jogszabály által meghatározott korábbi végzettsége alapján 2-5 féléves képzések keretében általános iskolai, illetve középiskolai közismereti informatikatanári képesítés szerezhető. A mai többciklusú, lineáris felsőoktatási rendszer keretében tanári szakképzettség a tanári mesterszak elvégzésével szerezhető. A tanári mesterszakon belül kerülnek meghirdetésre az egyes - többek között a közoktatási tantárgyaknak megfelelő - szakképzettségek. Esti általános iskolai képzés Berettyóújfaluban | OKJ képzések, tanfolyamok, felnőttképzés. A tanári mesterszak képzési ideje 2-5 félév attól függően, hogy egy vagy két szakképzettség megszerzése a cél, illetve hogy a jelentkező milyen korábbi végzettsége alapján kéri felvételét. Azok számára, akik valamely alapszak elvégzése után nyernek felvételt, és ez a tanári diploma lesz az első mesterképzésben szerzett végzettségük, kötelező két tanári szakképzettség egyidejű megszerzése. A szak elvégzése tanári mesterfokozatot és okleveles informatikatanár szakképzettséget ad. Ez a mesterfokozat lényegében a régi felsőoktatási képzés informatikatanár egyetemi végzettség megfelelője a mai rendszerben.
Az alábbiakban az osztatlan tanárképzésről olvashat általános tájékoztatót. A tanárképzéssel kapcsolatos további információk a fenti menüpontokra kattintva érhetők el. A közismereti tanárképzés ben mesterfokozat és tanári szakképzettség osztatlan, kétszakos képzésben szerezhető. A tanárszakok egy részének két formája jött létre: a 4+1 éves általános iskolai tanárképzés és az 5+1 éves középiskolai tanárképzés, melyben a plusz egy év az összefüggő iskolai szakmai gyakorlat. (11 ilyen tanárszak van. ) Az általános iskolai és középiskolai közismereti tanárszak adott szakterületen közös képzési szakaszra épül. A szakpárban történő előrehaladás érdekében arányos elosztásban, legalább 150 kreditet kell összegyűjteni a képzés első három évében. Felvi.hu - 3.2.3. A tanárképzésről. A rövidebb és hosszabb idejű tanárképzésben is mesterfokozatot lehet szerezni. Amennyiben az adott tanári szakképzettségből van általános iskolai és középiskolai tanárképzés is, akkor a közös három éves alapozó szakasz végén kell a hallgatónak eldönteni, hogy a két tanári szakképzettség mindegyikét általános iskolai tanárszakként, vagy középiskolai tanárszakként, vagy egyet általános iskolai és egyet középiskolai tanárszakként kíván-e elvégezni.
A pedagógusképzést a Szegedi Tudományegyetemen az SZTE Tanárképző Központ szervezi. Ennek honlapján is sok információt találsz. Ha érdekel, hogy földrajzon milyen tárgyakat fogsz tanulni, akkor kattints ide. Levelező tagozaton FÖLDRAJZ ALAPKÉPZÉSI SZAK (BSc) A 6 féléves Földrajz alapképzési szakot levelező tagozaton is indítjuk. A levelező tagozat követelményei és tanterve megegyezik a nappali tagozatéval, de az órákat nem hét közben, hanem a hét második felének végén, illetve hétvégén tartjuk. Etika oktatása az általános iskola felső tagozatában 60 óra – 60 kredit - Neteducatio. Így azok is részt tudnak venni a képzésben, akik a tanulmányaik mellett dolgoznak. FÖLDTUDOMÁNY ALAPKÉPZÉSI SZAK (BSc) A 6 féléves Földtudományi alapképzési szakot levelező tagozaton is indítjuk. Így azok is részt tudnak venni a képzésben, akik a tanulmányaik mellett dolgoznak. FÖLDRAJZ TANÁR MESTERKÉPZÉSI SZAK (2 félév) – Geográfus MSc diplomával rendelkezőknek A képzést azok számára ajánljuk, akik már rendelkeznek egy Geográfus MSc diplomával, de úgy érzik, hogy a földrajztanári hivatás során tudnának értékes munkát végezni.
Nincs olyan "friss" Bsc diploma, amivel tanári állást be lehet tölteni, tehát már itt zavaros a dolog. Egyébként jó kérdés. A törvény szerint egyfelől a legkisebb végzettséget kell nézni, amivel az adott pozíció betölthető, másrészről mégis a legmagasabb végzettségét kell nézni az illetőnek, amivel rendelkezik, és az adott munkakört betöltheti. Egyszerűsítette volna a dolgot, ha meghagyják azt a rendszert, ahol tanári a tanöári diploma csak egyetemi szintű lehet. Gyanítom, hogy az iskolák sincsenek képben ezzel kapcsolatban. Amikor én elkezdtem két éve dolgozni, felmerült, hogy alacsonyabb besorolást kapjak, mivel csak általános iskolásokat tanítottam. Szerencsére nem így lett. Ugyanakkor tudom, hogy aki egyetemi diplomával napközis tanári állásra pályázott, rendszerint alacsonyabb bért ígértem.
A zeneművésztanár szakokon kétszakos (5+1 éves) osztatlan képzésben szerezhető a kóruskarnagyművész-tanár, az ének-zene művésztanár, a zeneelmélet-tanár, az egyházzeneművész-tanár, valamint a népi hangszeres, a népzeneelmélet és a népi ének tanárszakokon szakképzettség. A nem tanári mesterképzéssel, vagy osztatlan képzéssel párhuzamosan is szerezhető egyszakos (hangszeres) zeneművésztanár oklevél. Már megszerzett alapfokozat és szakképzettség birtokában is, tehát oklevéllel is lehet osztatlan tanárképzésre jelentkezni. Eredményes felvételt követően – kérelemre – a választott tanárszak szakterületi ismeretei részeként az alapképzési ismeretekből 100 kreditet a felsőoktatási intézményben el kell ismerni. Forrás: