Tipikus, internetes alkalmazása a weboldalak linkhálózatának feltérképezése is, amit többek között a Google keresőmotorja is felhasznál (azonban ennek pontos módját sajnos nem ismerjük). Mi a gráf? Nemes egyszerűséggel a gráfok olyan pontokból és azokat összekötő vonalakból álló alakzatok, melyek valamilyen információt hordoznak (ez nem a matematikai megfogalmazás, inkább csak a saját értelmezésem). Mire jó a gráfelmélet? A legegyszerűbb példa, melyet Oystein Ore- A gráfok és alkalmazásaik című könyvében találunk a következő: Az iskolai futballcsapat más iskolák csapataival együtt bajnokságon vesz részt. Összesen hat csapat indul, mindegyiküket egy betűvel jelöljük, így lesznek A, B, C, D, E és F csapatok. Matematika - 11. osztály | Sulinet Tudásbázis. A verseny első néhány hetében már néhányan játszottak egymással de még közel sem mindenki mindenkivel. A meccseket itt gráfokkal jelölhetjük. Gráf feladatok megoldással a) Értelmezd a Gráfot A fenti példában leírt állapotot tehát gráf segítségével követjük, ami így néz ki: Feladat! Írd le hogy melyik csapat kivel játszott már!
BSc Matematika Alapszak Tantárgyleírás 2013. Tantervi háló Közös képzés Algebra és számelmélet Algebra1 normál Algebra1 intenzív Algebra2 normál Algebra2 intenzív Számelmélet1 normál Számelmélet1 intenzív Analízis Analízis1 Analízis2 Kalkulus1 Kalkulus2 Analízis megalapozása Kalkulus számítógéppel1 Kalkulus számítógéppel2 Geometria Geometria1 normál Geometria1 intenzív Véges matematika Vég. mat. 1 normál Vég. 1 haladó Vég. 1 intenzív Vég. 2 normál Vég. 2 haladó Vég. 2 intenzív Elemi matematika Elemi mat. 1 normál Elemi mat. 1 intenzív Informatika Bev. az informatikába Programozási ismeretek TDK előkészítő TDK előkészítő 1 TDK előkészítő 2 Szakszövegek írása Mat. kritériumtárgy Matematikus Algebra3 Algebra4 Számelmélet2 Analízis3 Analízis4 Alkalmazott analízis Numerikus analízis Alk. anal. szám. Véges matematika1. gép. Differenciálegyenletek Parciális diff. egyenletek Topológia Bevezetés Algebrai topológia Komplex analízis Komplex függvénytan Komplex ft. kiegészítés Fourier-integrál Funkcionálanalízis Funkcionálanalízis1 Funkcionálanalízis2 Függvénysorok Geometria2 Geometria3 Differenciálgeometria Sokaságok Operációkutatás Operációkutatás1 Operációkutatás2 Valószínűségszámítás Valószínűségszámítás1 Valószínűségszámítás2 Matematikai statisztika Java C++ Szimb.
Súlyozott élű gráfok: Kruskal és Dijkstra algoritmusai. Síkgráfok, Euler-formula, Kuratowski tétele. Gráfszínezések, kromatikus szám. Háromszög nélküli nagy-kromatikus gráf. Kapcsolat végtelen gráf és véges részgráfjai kromatikus száma között. Síkgráfok színezése: hat-, öt- és négyszín tétel. A Ramsey tétel gráfokra (két- és több színre. ) Erdős alsó becslése. Ramsey tétele halmaz-rendszerekre. A ``Happy end'' probléma. Extremális gráfok: Maximális és maximálishoz közeli távolságok száma a síkban. Erdős-Stone-Simonovits (biz. nélkül). Becslés tiltott négyszög esetén. Véges geometriák. Grf feladatok megoldással. A Reimann-konstrukció. Felső becslés az egységtávolságok számára a síkban. ↻
A tantárgy célkitűzése A ma már középiskolában, sőt általános iskolában is egyre többször előforduló kombinatorikus gondolkodásmód kialakítása sok feladat-megoldással. Irodalom Brunczel András, Elekes György: Véges matematika. ELTE jegyzet. Elekes György: Kombinatorika feladatgyűjtemény. Hajnal Péter: Elemi kombinatorikai feladatok. JATE Polygon Kiadó. Tematika Az első félévi anyag fontos részeinek ismétlése: szitaformula és változatai, különféle rekurziók. Minimax tételek: intervallum-rendszerekre vonatkozó feladatok. Páros gráfok és párosítások, Kőnig-Hall tétel és változatai. Kapcsolat páros gráf különféle paraméterei között (Gallai tételei). Tutte tétele párosítások létezéséről nem páros gráfban. Többszörös összefüggőség, (algoritmusok is). Hálózati folyamok. 13.8. Gráfok | Matematika módszertan. A Ford-Fulkerson tétel. A folyamprobléma általánosításai és alkalmazásai. A mélységi keresés és alkalmazásai. Lineáris rekurzióra vezető feladatok, állandó együtthatós lineáris rekurziók megoldása. Séták a rácspontokon, tükrözési elv, Catalan-számok (sor a pénztárnál), bolyongás.
Az összeszámlálási feladatoknál gyakran alkalmazzuk a gráfokkal való ábrázolást. A gráfokkal kapcsolatban önmagukban is érdekes problémákkal találkozhatunk. A gráf pontokból és élekből áll. A gráf élei lehetnek irányítottak, akkor irányított gráfról beszélünk. Példa: Péntek este öt barátnő közül többen beszéltek egymással telefonon (bármely két lány legfeljebb egyszer beszélt egymással). Másnap megbeszélték, hogy ki hány barátnőjével beszélt (ötük közül). Hány beszélgetés zajlott az öt lány között péntek este, ha egyszerre mindig ketten beszéltek egymással, és a) Kati 4, Jutka 1, Nóri 3, Marcsi és Bori 2-2 barátnőjével beszélt; b) Kati 3, Jutka 1, Nóri 1, Marcsi és Bori 2-2 barátnőjével beszélt? Megoldás: a) Ábrázoljuk gráffal a beszélgetéseket, a pontok a lányokat jelentik, két pont össze van kötve éllel, ha a pontoknak megfelelő lányok telefonáltak egymásnak. Kati mindenkivel beszélt, Jutka csak 1 lánnyal, aki biztos, hogy Kati. Nóri Katin kívül még 2 lánnyal beszélt, ezek csak Marcsi és Bori lehettek, mert Jutka nem beszélt velük.
A gráfelmélet a matematika egyik legizgalmasabb és talán a legegyszerűbben megérthető területe. Gyakorlati alkalmazása azonban nagy bonyolultságú rendszerek megértését képes segíteni. A cikk célja hogy a területtel most ismerkedők egy kis inspirációt kapjanak. A gráfelmélet története napjainkig A gráfelmélet a svájci Euler nevéhez kapcsolódik, és egészen 1736-ig nyúlik vissza a története. A kezdeti gráfelméleti kutatások nem voltak kifejezetten komolynak mondhatók, akkor még nem igazán volt gyakorlati haszna az alkalmazásának. Mindenesetre remek rejtvények készültek az elmélet segítségével. Az idő múlásával azonban egyre több felhasználási módja keletkezett a matematikai elméletnek. A 19. százdban már elektromos hálózatok, illetve molekuláris hálózatok körében is alkalmaztak gráfokat. Napjainkban a gráfelmélet már sokkal átfogóbb tudományterület. Segítségével olyan összetett problémákat oldanak meg, mint a csővezeték-rendszerek áramlási problémái, vagy a logisztikai kihívások, útvonaltervezés.
A skatulyaelv és alkalmazásai kombinatorikai és geometriai feladatokban. Átlagolás, kettős leszámlálás. Binomiális együtthatók, azonosságok binomiális együtthatókra. Kitalálós játékok: a Barkochba és változatai, hamis pénz kitalálása. Módszerek lehetetlenség igazolására. Gráfok fogalma, hurokél, többszörös él, egyszerű gráfok. Pontok fokszáma és élek száma közti összefüggés, és alkalmazásai. Séták, vonalak, utak, körök és kapcsolatuk. Végtelen gráfok, Kőnig-lemma végtelen utakról. Összefüggő és nem összefüggő gráfok: komponensek. Fák és erdők, élszámuk meghatározása. Euler-vonal ill. körvonal létezésének szükséges és elégséges feltétele. Irányított gráfok, turnamentek, pszeudogyőztesek. Az Euler-tétel megfelelője irányított gráfokra. Hamilton-körök és Hamilton-utak, szükséges feltétel létezésükre. Elégséges feltétel(ek) Hamilton-körök és Hamilton-utak létezésére. Hamilton-út létezése turnamentekben. Körmérkőzések, a teljes gráf 1-faktorokra bontásai. Összefüggőségi és útkereső algoritmusok: szélességi bejárás, labirintus-bejárás.
Városi életstílusnak való kitettség esetén valódi áldás ez a C-vitamin, csökkenti a diesel partikulumok és a városi por okozta reaktív oxigén szabadgyökök képződését, ezáltal az urban-aging -et. Magister szérumok "E vitamin" Erős antioxidáns, amely szintén lassítja az öregedést. Puha lesz tőle a bőr, és eltűnteti a bőrhibákat. Az egészséges bőr fenntartója, és az érzékeny bőr ápolásának alapvető hatóanyaga. Ezek a vitaminok szépítik bőrünket - HáziPatika. Az E-vitamin képes hozzákötődni az oxidatív stressz folyamán keletkezett szabadgyökökhöz, semlegesítve azokat. Tudtad? A Magister® készítményekben helyet foglaló E-vitamin egy speciális, rendkívül hatékony keverék izomer ("mixed"). Ezek az E-vitamin izomerek együtt hatásosabbnak bizonyultak, mint általában a kozmetikai készítményekben előforduló egyes izomerek külön-külön. Ásványi anyagok és nyomelemek A vitaminokon kívül létezik még több vitaminszerű tápanyag, melyek nem vitaminok, de működésükben nagyon hasonlítanak azokra. Ilyenek például a béta-karotin, a Q10-koenzim vagy a likopin, melyeket szintén előszeretettel használunk termékeinkben, mivel bőrön keresztül közvetlen hatásuk van a szövetekre.
Melyik út a jobb? Bár a helyi alkalmazás szinte azonnal hat, és közvetlenül érinti a bőrt, a belsőleg alkalmazott vitamin hatással van az egész test egészségére. Ahelyett, hogy a C - vitamint csak a bőr szívná magába, ha elfogyasztja, elterjed az egész testben, ahol csak szüksége van rá. Bár a vitamin belső bevitele nem okoz azonnali változást a bőr megjelenésében, hosszú távon minden bizonnyal javítja egészségi állapotát és bőrét. Ez természetesen nem jelenti azt, hogy a külső alkalmazás rossz. Ez egy másik nagyszerű módja annak, hogy bőrét táplálja. De amikor az egész test egészségéről van szó, válassza a tabletták lenyelését vagy a kiegyensúlyozott étrendet. A vitaminok szerepe a bőrápolásban. 7 vitamin, amely csodás bőrt biztosít 1. Vitamin C A létező leghíresebb vitamin. A C -vitamin két nagyszerű dolgot tesz a bőréért: megvédi az UV sugárzástól és elősegíti a kollagén szintézisét. Sajnos ez nem jelenti azt, hogy csak narancsot kell ennie, és abbahagyhatja a fényvédő használatát. Az UV -sugárzás elleni teljes védelemhez továbbra is szüksége van fényvédőre.
Az öregedéstől sokan félünk, főként, ha annak jelei már az arcunkon, bőrünkön is láthatóvá válnak. Bőrünk, ugyanolyan szervünk, mint például a tüdőnk vagy a vesénk, ezért megfelelő táplálása és vitaminokkal való ellátása legalább olyan fontos. A vitaminok rendkívül sokrétű munkát látnak el, szervezetünk egészséges és kiegyensúlyozott működése szempontjából jelenlétük és megfelelő pótlásuk kiemelkedő fontosságú. Nemcsak betegségek esetén vagy éppen azok megelőzése ellen hatásos tápanyagok, hanem bőrünk védelmét és megfelelő táplálását illetően is. A tél végére vitaminraktáraink kimerülnek, minden sejtünk vágyik a megújulásra, feltöltődésre. A C-vitamin 5 áldásos hatása a bőrre: serkenti a bőr kollagéntermelését, megelőzi a ráncokat - Szépség és divat | Femina. A hideg, szeles, nyirkos időjárás nemcsak immunrendszerünket és hangulatunkat, de bőrünket is igencsak igénybe vette, ezért mind szervezetünk, mind bőrünk megújítása szükséges. Lássuk, milyen vitaminokat és élelmiszereket érdemes fogyasztanunk bőrünk megfelelő táplálásához! C-vitamin A C-vitamin segít megőrizni bőrünk üdeségét, szépségét, simává teszi és védi az öregedéstől.
Az E-vitamin kiválóan semlegesíti mindezeket, sőt, még a káros UV-sugárzás ellen is véd. Hidratál, és késlelteti a ráncok kialakulását Akinek extrémen száraz a bőre, gyakran ajánlanak valamilyen koncentrált E-vitaminos készítményt a gyors javulás érdekében. Mivel zsírban oldódó vitamin, képes behatolni a bőr mélyebb rétegeibe, ahol védi és táplálja a hidratálásért felelős lipideket. Segít megtartani a bőr nedvességtartalmát, mivel hosszú ideig képes a zsírszövetekben elraktározódni. Tehát nagyon jó hidratáló, bőrpuhító, serkenti a kollagéntermelést, így a ráncok kialakulását is lelassítja. Nagyon jól kombinálható C-vitaminnal, együtt szinte csodákra képesek a szép bőrkép elérésében. Érdemes a bőrápoló rutinba olyan készítményeket beépíteni, melyek tartalmazzák mindkét összetevőt, de úgy is hatásos, ha a különböző termékeket egymásra építjük. Táplálékok, amik tartalmazzák Mivel a szervezet nem képes előállítani az E-vitamint, nagyon fontos, hogy mindig pótolva legyen. Minden bőrtípusra ajánlott, és szüksége is van rá mindenkinek, csupán arra kell figyelni, hogy milyen állagú terméket választunk.
Mindemellett pedig, a megfelelő keringés szép, ragyogó bőrt eredményez. B1-vitamint tartalmazó ételek: spárga, gombák, spenót, napraforgómag, zöldborsó. B2 (Riboflavin) A B2-vitamin nem eredményez valamilyen különösebben észrevehető változást, ha nagy mennyiségben fogyasztjuk, azonban a hiányától a bőr elég csúnya maradhat. Ha ennek a tápanyagnak a szintje túl alacsony, akkor a bőrünk fakóvá, szárazzá válik. A B2-vitamin hiányának legismertebb tünete azonban az anguláris stomatitis, ami a száj sarkaiban kialakult fájdalmas repedezettséget jelenti. B2-vitamint tartalmazó ételek: gombák, spenót, spárga, brokkoli, tojás. B3 (Niacin) A B3-vitamin értékes tápanyag a bőrápolás szempontjából, mind általában, mind pedig az orvosi kezelések esetében. Legfőbb szerepe az, hogy oxigénnel látja el a bőrt. Ezt úgy csinálja, hogy vértágítóként viselkedik a bőr mikro-keringésében, ami azt jelenti, hogy az apró érhálózatokat tágulásra kényszeríti, ezzel biztosítva, hogy elegendő vér jusson el a bőr legfelsőbb rétegeibe is.
A pikkelysömört tulajdonképpen ennek a vándorlási folyamatnak egy túl gyors lefolyása idézi elő, így a D-vitamin túlzott bevitele, lassítva ezt a folyamatot, hatékony lehet a betegség gyógyításában. D-vitamint tartalmazó ételek: gombák, sajtok, halak E-vitamin Az E-vitamin talán a legismertebb bőrhöz köthető tápanyag. Jól ismert antioxidáns, amely különös fontosságú az egészséges bőr szempontjából. Mivel zsírban oldódó, képes a bőr zsírosabb rétegeibe is eljutni, ahol maximális védelmet nyújt. Ezekben a rétegekben nagymennyiségű kollagén található, amely a bőr szerkezeti sértetlenségét adja. A kollagén itt ki van téve különböző molekulák támadásának, ami a bőr ráncosodásához, fakó külsejéhez, és lassabb sebgyógyuláshoz vezethet. Ezenkívül sokkal kevésbé tűnik egészségesnek tőle a bőr. Az E-vitamin más módon is hasznos a bőrproblémák kezelésében, mégpedig az immunrendszer támogatásával. Az olyan problémák esetében, mint a pattanás, mindenképpen jelen van valamilyen fertőzés. Nagyon fontos, hogy erős legyen az immunrendszerünk, mert csak így tudja gyorsan és hatékonyan kezelni a fertőzést.
Az is fontos, hogy rendszeresen használjunk a bőrtípusunknak és az adott évszaknak megfelelő bőrápolási és napvédő termékeket, ezekkel védhetők ki ugyanis a környezeti tényezők, például a szél, a napsugárzás, vagy a légszennyezettség, esetleg a száraz levegő okozta esetleges károsodás. Az egészséges, vitaminokban és ásványi anyagokban gazdag táplálkozás mellett azzal is sokat tehetünk bőrünk egészségéért, ha lemondunk káros szokásainkról - a dohányzásról, a túlzott alkoholfogyasztásról -, törekszünk rá, hogy eleget és jól aludjunk, valamint a lehető legkevesebbet stresszeljünk. Az lenne a kérdésem, hogy kb. 4 éve szedek fogamzásgátlót, és minden vasárnap szokott megjönni, tehát most vasárnap is meg fog. Még szerdáig szedem a gyógyszert, viszont már tegnap és ma is volt barnás színű folyásféle, mintha megakarna jönni. Hasam nem fáj meg semmi, a gyógyszert is rendesen szedem, mindig egy időben, nem hagytam ki szemet, max. 1-t az elmúlt 3 hónapban, de akkor is 12 órán belül pótoltam, vagyis 1-2 órán belül.