Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda Frissítve: 2012. novermber 19. 23:07:41 1. Azonosságok A sin és cos szögfüggvények derékszög¶ háromszögben vett, majd kiterjesztett deníciója és a Pithagorasz-tétel miatt teljesül a következ®: sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1 (1) 1. 1. Azonosság. 1. 2. Következmény. sin2 ϕ = 1 − cos2 ϕ (2) cos2 ϕ = 1 − sin2 ϕ (3) 1. 3. Következmény. 1. 4. Azonosság. Trigonometrikus egyenlet – Wikipédia. Mivel tgϕ = cosϕ sinϕ és ctgϕ =, ezért cosϕ sinϕ ctgϕ = 1. 5. Azonosság. 1 tgϕ (4) Fentiek miatt igaz a következ® is: tgϕ = 1 ctgϕ (5) Mivel számológép segítségével a tangens értékét könnyebb meghatározni, ezért ha lehetséges, a (4)-es és (5)-ös azonosságok közül válasszuk a (4)-est. 1. 6. Megjegyzés. 2. Példák 2. Példa. Oldjuk meg a következ® egyenletet a valós számok halmazán! 2 − 7sinx = 2cos2 x + 4 Felhasználva a (3)-as azonosságot, a következ®t kapjuk: 2 − 7sinx = 2(1 − sin2 x) + 4 2 − 7sinx = 2 − 2sin2 x + 4 1 Legyen most y = sinx. Ekkor: 2 − 7y = 2 − 2y 2 + 4 2y 2 − 7y − 4 = 0 Oldjuk meg ezt az egyenletet a másodfokú egyenlet megoldóképlete felhasználásával: p √ 49 − 4 · 2 · (−4) 7 ± 81 7±9 = = 4 4 4 1 y1 = 4 és y2 = − 2 Térjünk vissza az általunk bevezetett y = sinx jelöléshez.
Feladat: szorzattá alakítható egyenlőtlenség Keressük meg mindazokat az x számokat, amelyek kielégítik a sin 2 x + sin x cos x ≥ 1 egyenlőtlenséget! Megoldás: szorzattá alakítható egyenlőtlenség A összefüggés felhasználásával az egyenlőtlenséget átalakítjuk: Az egyenlőtlenség bal oldalát szorzattá alakítjuk: Ebből az egyetlen egyenlőtlenségből két egyenlőtlenség-rendszert írunk fel: I. vagy II. A koordinátasíkon a cos x, valamint a sin x függvény képének az összehasonlításával egyértelműen megkapjuk a megfelelő x értékeket. Nézzük a intervallumot. Az ennek megfelelő x értékek: Ha ezekhez az értékekhez hozzáadjuk a periódus egész számú többszöröseit, akkor megkapjuk az egyenlőtlenség megoldását: A koordinátasíkon szemléltetjük a lehetséges forgásszögek tartományát. A megoldás leolvasása a függvényekről
Lássuk mi történik a másik esetben. Szintén tipikus csel, hogy az egyenletben először alkalmazni kell ezt az azonosságot és kapunk másodfokú egyenletet. Lássunk egy ilyet is. Az egyenletben első fokon cosx szerepel, ezért akkor járunk jól, ha mindenhol cosx lesz. Most pedig lássunk egy izgalmasabb egyenletet. A szinusz úgy működik, hogy a kék megoldást a számológép adja, a zöld megoldás pedig úgy jön ki, a két szög összege mindig egy egyenest kell, hogy adjon. A koszinusz sokkal kellemesebb, itt a kék megoldást adja a számológép, a zöld pedig mindig ennek a mínuszegyszerese. A tangens úgy működik, hogy a kék megoldást a számológép adja, a periódus pedig nem hanem. A koszinusz a szokásos.
Itt egy csodálatos kör, aminek a középpontja az origó és a sugara 1. Ezt a kört egységkörnek nevezzük. Az egységkör pontjainak x és y koordinátái -1 és 1 közé eső számok. Ezekkel a koordinátákkal foglalkozni meglehetősen unalmas időtöltésnek tűnik… Mivel azonban a matematikában mágikus jelentőségük van, egy kis időt mégis szakítanunk kell rájuk. Itt van mondjuk ez a P pont. Az egységkörben az x tengely irányát kezdő iránynak nevezzük, a P pontba mutató irányt pedig záró iránynak. A két irány által bezárt szög lehet pozitív, és lehet negatív. A szöget pedig mérhetjük fokban és mérhetjük radiánban. Nos ez a radián egész érdekesen működik: a szögek mérésére az egységkör ívhosszát használja. Van itt ez a szög, ami fokban számítva És most lássuk mi a helyzet radiánban. A kör kerületének a képlete. Az egységkör sugara 1, tehát a kerülete. A 45fok a teljes körnek az 1/8-a, így a hozzá tartozó körív is a teljes kerület 1/8-a vagyis Nos így kapjuk, hogy Most pedig lássuk az egységkör pontjainak koordinátáit.
Szóval a 82-es az mint ahogy írtam is x=45 83-as: x=-6, mivel √ 3 /2 cosinus az 30 fok, és Pi/5 = 36 fok, tehát -6+36=30 84-es: a két gyök 3 és 1/2, de szögfüggvénynek az értéke -1 és 1 között kell hogy legyen, így az egyetlen jó megoldás 1/2! 85-ös: az átalakítást így csináltam meg: 2*(1-cos^2 x) + 3*cos x + 0 2-2*cos^2 x + 3*cos x = 0 -2*cos^2 x + 3*cos x + 2 = 0 ezt megoldottam, aminek a gyökei: -1/2 és 2, szabály ugyanaz, hogy 2 nem lehet megoldás, tehát -1/2 a megoldás! 87-es: átalakítás után ez volt ugyebár: tg x + 1/tg x = √ 3 utána beszorzok tg x-el: tg^2 x + 1 = √ 3 *tg x átcsoportosítás után: tg^2 x - √ 3 *tg x + 1 = 0 Megoldóképletnél a gyökjel alatt negatív szám lenne (3-4), tehát nincs megoldás. Remélem sehol sem rontottam el. Várom a 86-os trükkjét és köszi a segítséget! megoldása Az a baj, hogy ez így még mindig kevés... Egyrészt kell a periódus, amit fent le is írtál, másrészt ezeknek általában két negyedben van megoldása, így például a cos(x)=-1/2-nek nem csak a 120° a megoldása (amit persze át kell még váltani radiánba), hanem 240˛-nál is, vagy, ha úgy jobban tetszik, akkor -120°-nál (mivel a cos(x) függvény páros függvény, vagyis szimmetrikus az y-tengelyre).
Milyen típusú térdízületi gyulladásokat ismerünk? Oszteoartritisz Az oszteoartritisz, más néven degeneratív ízületi betegség, az ízületi gyulladás leggyakoribb formája. Ebben az esetben a porc az ízületben lebomlik a túlzott kopás eredményeként. A porc olyan rugalmas szövet, mely két csont találkozásánál található. Funkcióját tekintve csillapítja a rázkódást mozgásnál, valamint megakadályozza, hogy járás közben a csontok egymást súrolják. Házi módszerek a hangszálgyulladás kezelésére - HáziPatika. Ízületi gyulladás? Ezek a vény nélkül kapható gyógyszerek segíthetnek A porckopás következtében a térdízületben térdízület gyulladáscsökkentő gyógyszerei és irritáció tapasztalható, amikor a csontok egymáshoz dörzsölődnek mozgás közben. A trauma a leggyakoribb oka a kisdedkori ízületi fájdalomnak, ezért minden esetben gondolni kell rá. A korai életkorban alkalmazható terápiás módszerekről Tünetei az egyik oldali csípő fájdalma, Hogyan gyulladáscsökkentő gyermeket fájdalom mellett a csípő mozgásainak beszűkülése. Kezelésében szigorú ágynyugalom, nem szteroid gyulladáscsökkentők adása, a testnevelés óra alól felmentés javasolt.
A fülfájásnak számtalan oka lehet, példásul a fület érő sérülések, a felgyülemlett váladék, a fertőzések és gyulladások. A fülfájás rendkívül gyakori a kisgyermekeknél, de időnként a felnőtteknél is előfordulhat. A fülfájáshoz gyakran társul más betegség is, például felsőlégúti megbetegedéések, de sokszor a fogfájás sugárzik ki a fülekbe is. Petefészek gyulladásra gyógyszer árak. Az alapbetegség kezelése általában a fülfájás enyhülésével, gyógyulásával jár együtt, de a kellemetlenség enyhítésére sok egyszerű dolgot tehetünk otthon is. Az olívaolaj segítségével fellazíthatjuk és eltávolíthatjuk a felgyülemlett váladékot, emellett ez segít nedvesíteni a hallójáratot, és a fertőzések elleni küzdelemben is szerepet játszhat. Óvatosan melegítsünk fel egy kevés olívaolajat (ellenőrizzük, nehogy túl forró legyen), majd 3-4 cseppet tegyünk a fülünkbe. Ha ezt kellemetlennek találjuk, akkor egy vattapálcikát is belemárthatunk az olajba, és ezzel óvatosan bekenhetjük a fül belső részét. Mindent megtudhat a középfülgyülladás okairól, kialakulásáról, kezeléséről a Betegségek A-Z szócikkéből.
A Nőgyógyászati Központ szülész-nőgyógyászai a megelőzés és a nőgyógyászati betegségek kezelésének, valamint a nőgyógyászati problémák más betegségekkel társult ( terhesség cukorbetegen, PCO -val, vérzékenyen) formáinak szakértői. Így jelzi a nyelőcső, ha baj van - HáziPatika. Központunk a nőgyógyászati problémák endokrinológiai, immunológiai kivizsgálását is biztosítja. Jelentkezzen be kismedencei gyulladás kivizsgálásra! Dr. Józan Gyöngyi nőgyógyász, sebész
Szintén nagyon jó hatású a friss gyömbér, nyugtatja a torok nyálkahártyáját és a gyulladásokat is csökkenti, emellett az immunrendszer munkáját is segíti. Vágjunk vékony szeletekre egy néhány centis gyömbérdarabot, tegyük 2 deci vízbe, majd lassan forraljuk fel, és hagyjuk gyöngyözni 10 percig. Szűrjük le a kapott folyadékot, majd hagyjuk hűlni. Tegyünk hozzá egy kiskanál citromlevet és egy kiskanál mézet, majd igyuk meg ezt a teát. Naponta többször is fogyaszthatjuk. Petefészek gyulladásra gyógyszer ára. Az édesgyökérnek is kihasználhatjuk toroknyugtató, antivirális és gyulladáscsökkentő hatásait. Az édesgyökér emellett természetes köptető is, így segíti feloldani a letapadt, irritáló váladékot. Forraljunk vizet, majd tegyünk bele egy teáskanál szárított édesgyökeret. Lassan gyöngyöztessük öt percen keresztül, majd szűrjük le, hagyjuk hűlni, és az elkészült teát naponta három alkalommal kortyolgassuk el. Egy kevés mézzel is édesíthetjük. Az édesgyökér használatával azonban nem árt óvatosnak lenni, mert kölcsönhatásba léphet bizonyos gyógyszerekkel, és a fogyasztása nem ajánlott magas vérnyomással, vese-, máj-, illetve szívbetegséggel küzdőknek.
A laryngitis a hangszálak begyulladását jelenti, melyet okozhat túlerőltetés, de bakteriális vagy vírusos fertőzés is. Jellegzetes tünete a gyenge, erőtlen vagy rekedt hang, a torokfájás és a köhögés. Hogyan gyorsíthatjuk fel a gyógyulást otthon? A laryngitis, vagyis a hangszálgyulladás az esetek nagy részében akut betegség, melynek oka valamilyen fertőzés. Általában rövid időn (maximum 2-3 héten) belül magától meggyógyul, és sokszor még gyógyszert sem kell szedni rá. A laryngitis tünetei közé tartozik a száraz köhögés, a torokfájás, illetve a legjellemzőbb a hangképzés valamilyen zavara, például a rekedtség, a gyenge, erőtlen hang, vagy éppen a hang teljes elveszítése. Szerencsére, néhány egyszerű házi módszerrel nemcsak a gyógyulás folyamatát gyorsíthatjuk meg, de a kellemetlen tüneteket és a fájdalmat is csökkenthetjük. Kismedencei gyulladás nőgyógyászati kezelése, kivizsgálása. Az almaecet többek között antimikrobális hatású és a nyálkahártya megfelelő pH-értékét is visszaállítja. Keverjünk el két evőkanál almaecetet és egy evőkanál mézet fél pohár meleg vízben, majd tegyünk hozzá egy késhegynyi cayenne-i borsot.