1. A definíció felhasználásával belátjuk az állítást az első náhány konkrét n értékre: a 2 =a 1 ⋅q definíció szerint. a 3 =a 2 ⋅q a definíció szerint, de felhasználva az a 2 -re kapott kifejezést: a 3 =a 1 ⋅q 2. 2. Indukciós feltevés: Feltételezzük, hogy n olyan index, amire még igaz: a n =a 1 ⋅q n-1. Ilyen az 1. pont szerint biztosan van. 3. Ezt felhasználva, bebizonyítjuk, hogy a rákövetkező tagra is igaz marad, azaz: a n+1 =a 1 q n. Tehát azt, hogy a tulajdonság öröklődik. Definíció szerint az n-edik tag után következő tag: a n+1 =a n ⋅q. Itt a n helyére behelyettesítve az indukciós feltételt: a n+1 =(a 1 ⋅q n-1)⋅q. Egyszerűbben: a n+1 =a 1 q n. Ezt akartuk bizonyítani. A mértani sorozat tagjainak összege Állítás: Mértani sorozat első n tagjának összege: \( S_{n}=\frac{a_{1}·\left(q^n-1\right)}{q-1} \; q≠1 \) . Írjuk fel az első n tag összegét tagonként: S n =a 1 +a 2 +a 3 +…+a n-2 +a n-1 +a n. Majd felhasználva az n-edik tagra fent bizonyított képletet: 1) S n =a 1 +a 1 ⋅q+a 1 ⋅q 2 +…+a 1 ⋅q n-3 +a 1 ⋅q n-2 +a 1 ⋅q n-1.
Egy számsorozatot mértaninak nevezünk, ha a szomszédos elemek hánydosa állandó. Például: 2; 4; 8; 16; 32;... Itt a szomszédos elemek hányadosa 2. 1; 1/10; 1/100; 1/1000;... Itt a szomszédos elemek hányadosa 1/10. 1; -3; 9; -27; 81; -243,... Itt a hányados -3. A hányados neve kvóciens, jele q. Az első sorozat növekvő mértani sorozat, a második csökkenő, a harmadik váltakozó előjelű mértani sorozat. Általánosan: a mértani sorozat első elemét jelöljük a 1 -gyel, hányadosát q-val; ekkor a sorozat további elemei: a 2 = a 1 *q a 3 = a 1 *q 2 a 4 = a 1 *q 3... a n = a 1 *q n-1 Mértani sorozat első n elemének összege: S n = a 1 + a 2 +... + a n Az egyenlőség mindkét oldalát szorozzuk q-val. q*S n = a 2 + a 3 +... + a n+1 A második egyenlőségből kivonjuk az elsőt. q*S n - S n = a n+1 - a 1 Behelyettesítjük a n+1 = a 1 *q n -t. q*S n - S n = a 1 *q n - a 1 S n *(q - 1) = a 1 *(q n - 1) S n = a 1 *(q n - 1)/(q - 1) Példa: A legenda szerint a sakkjáték feltalálója jutalmul annyi búzaszemet kért az uralkodótól, amennyi a sakktábla négyzeteire ráfér a következők szerint: az első négyzetre 1 szem búzát tegyen az uralkodó, a második négyzetre 2 szemet, a harmadik négyzetre 4 szemet, a negyedikre 8-at, s így tovább; minden négyzetre 2-szer annyi búzaszemet kért, mint amennyi az előző négyzeten van.
Az "es" "en" képletbe behelyettesítve megkapjuk, hogy 1 év alatt 246332 Ft gyűlik össze, amelyből a kamat 6332 Ft. Az ilyen típusú takarékoskodás a gyűjtőjáradék: rendszeres időközönként azonos összeget fizetünk be, amely kamatozik a számlán. Az összegyűlt járadék kiszámítása történhet az előbbi módszerrel, de ha azonnal felismered ezt a feladattípust, a hozzá tartozó képletet megtalálod a függvénytáblázatban. Endrét felvették az egyetemre, építészmérnök szakra. Kollégiumba viszont nem került be, ezért úgy döntött, hogy felveszi a diákhitelt. Számítsuk ki, hogy 8 félév elteltével mennyi lesz a visszafizetendő összeg, ha a kamat évi 8% és a hitel minden októberben, illetve márciusban 200000 Ft! Készítsünk táblázatot! A kamat fél évre számítva 4%. Októberben Endre kap 200000 Ft-ot. Márciusra ez kamatozik 4%-ot, ekkor megérkezik a számlájára a következő 200000 Ft. Ugyanez ismétlődik minden tanévben. A 8. félév márciusában utoljára folyósítja a bank a kölcsönt. Ezen a napon a tartozás egy mértani sorozat első 8 tagjának az összege.
Sulinet Tudásbázis, Mértani sorozat,
Ez az állandó a mértani sorozat kvóciense, jele q. A definícióból következik, hogy a mértani sorozatnak egyik eleme sem lehet nulla, mert nullával nem oszthatunk. Emiatt a hányados is nullától különböző szám. Lássunk néhány példát! Az egy, négy, tizenhat, hatvannégy számok egy olyan mértani sorozat tagjai, amelynek az első eleme egy, a hányadosa négy. A száz, húsz, négy, négy ötöd, négy huszonötöd számok szintén mértani sorozatot alkotnak. Ennek a kvóciense egy ötöd. Mivel egyenlő annak a mértani sorozatnak a tizedik tagja, amelynek az első tagja három, a kvóciense kettő? A képzési szabály szerint a második tag háromszor kettő, vagyis hat. A harmadik tag hatszor kettő, azaz tizenkettő. Ezt úgy is felírhatjuk, hogy háromszor kettő a négyzeten. Hasonlóan a negyedik tag háromszor kettő a harmadikon, az ötödik háromszor kettő a negyediken. Biztosan látod már a szabályt: a tizedik tag háromszor kettő a kilencediken lesz, vagyis ezerötszázharminchat. A példa alapján megfogalmazhatjuk a mértani sorozatok egyik fontos képletét: ha ismerjük az első tagot és a kvócienst, bármelyik tag kiszámolható.
Meghatározzuk a számtani sorozat n-edik elemét és az első n elem összegét. 3. Számtani sorozat II. Feladat számtani sorozatra: Hány hely van a színházban az utolsó sorban? Hány hely van a nézőtéren összesen? A számtani sorozat összegképlete 4. Számtani sorozat III. Újabb feladatok a számtani sorozatokról tanultak gyakorlásához: Mennyi a pozitív háromjegyű páratlan számok összege? Mennyi a pozitív kétjegyű, 4-gyel osztható számok összege? 5. TESZT: Számtani sorozatok Feladatok, melyekkel gyakorolhatod a számtani sorozat n-edik tagjának, a sorozat differenciájának, és a sorozat tagjainak összeg meghatározását. Mértani sorozatok 0/15 1. Mértani sorozatok I. Mitől lesz egy sorozat mértani sorozat? Példák mértani sorozatra; A mértani sorozat hányadosa (kvóciense), n-edik tagja; A mértani sorozat első n tagjának összege 2. Mértani sorozatok II. Feladatok mértani sorozat gyakorlásához: Egy mértani sorozat harmadik tagja 12, negyedik tagja pedig -10. Mennyi a sorozat hányadosa és az első tagja?
Leírás Interherb grapefruitmag csepp C-vitaminnal. A flavonoidokban és C-vitaminban gazdag készítményt az erős immunrendszerért ajánljuk. A jóízű cseppek gyógyteákban fogyasztva felkészíthetik a fiatalok és idősebbek szervezetét a téli megfázásos időszakra. Hatóanyag a napi adagban (18 csepp): Citrus biolfavonoid: 7, 5 mg, C-vitamin: 32, 4 mg. Javasolt fogyasztás: napi 3×6 csepp alkalmanként 2 dl folyadékban hígítva. Hígítatlanul soha ne használja, mert nyálkahártya irritációt okoz! Figyelmeztetés: Fogyasztása kisgyermekeknek, terhes- és szoptató anyáknak, citrusfélékre érzékenyeknek nem ajánlott. A grapefruitmag egyik hatóanyaga gyógyszer metabolizáló enzimbénító hatású, ezért jelentősen növeli egyes gyógyszerek hatását. Gyógyszert rendszeresen szedők kérdezzék meg orvosukat a grapefruitmag alkalmazásával kapcsolatban. Összetevők: grapefruitmag és gyümölcs standardizált glicerines-vizes kivonata. Kiszerelés: 20 ml Figyelmeztetés: Gyermekek elől elzárva tartandó! Az ajánlott fogyasztási mennyiséget ne lépje túl!
Figyelmeztetés: Fogyasztása kisgyermekeknek, terhes- és szoptatóanyáknak, citrusfélékre érzékenyeknek nem ajánlott. A grapefruitmag egyik hatóanyaga gyógyszer metabolizáló enzimbénító hatású, ezért jelentősen növeli egyes gyógyszerek hatását. Gyógyszert rendszeresen szedők kérdezzék meg orvosukat a grapefruitmag alkalmazásával kapcsolatban. Az étrend-kiegészítő nem helyettesíti a kiegyensúlyozott, vegyes étrendet és az egészséges életmódot! Gyermekek elől elzárva tartandó! Az ajánlott napi adagot ne lépje túl! Tárolás: fénytől védve, szobahőmérsékleten (15-25 ºC). Minőségét megőrzi: a dobozon jelzett ideig (nap, hónap, év). OÉTI notifikációs szám: 11370/2012. Vonalkód: 5999542642746 Legyen Ön az első, aki véleményt ír!
Nettó tömeg: 22, 9 g Figyelmeztetés: Fogyasztása 3 éves kor alatti gyermekeknek, várandós- és szoptatókismamáknak, citrusfélékre érzékenyeknek nem ajánlott. A grapefruitmag egyik hatóanyaga gyógyszer metabolizáló enzimbénító hatású, ezért jelentősen növeli egyes gyógyszerek hatását. Gyógyszert rendszeresen szedők kérdezzék meg orvosukat a grapefruitmag alkalmazásával kapcsolatban. Az étrend-kiegészítő nem helyettesíti a kiegyensúlyozott, vegyes étrendet és az egészséges életmódot! Gyermekek elől elzárva tartandó! Az ajánlott napi adagot ne lépje túl! Tárolás: fénytől védve, szobahőmérsékleten (15-25 ºC). Minőségét megőrzi: a dobozon jelzett ideig (nap, hónap, év). Forgalmazza: BGB Interherb Kft, 1136 Budapest, Tátra utca 25. OÉTI notifikációs szám: 11371/2012. Vonalkód: 5999542642623
Nettó tömeg: 22, 9 g Kiszerelés:20ml Figyelmeztetés: Fogyasztása kisgyermekeknek, terhes- és szoptatóanyáknak, citrusfélékre érzékenyeknek nem ajánlott. A grapefruit mag egyik hatóanyaga gyógyszer metabolizáló enzimbénító hatású, ezért jelentősen növeli egyes gyógyszerek hatását. Forgalmazza és gyárja: BGB Interherb Kft Az ajánlott napi adagot ne lépje túl! A termék nem helyettesíti a kiegyensúlyozott, vegyes étrendet és az egészséges életmódot! A termék nem alkalmas betegségek, és a szervezet működési zavarainak gyógyítására, nem helyettesítik a megfelelő szakorvosi diagnózist és az esetleges gyógyszeres kezelést. FIGYELEM: Használat előtt beszéljen orvosával. Ne szedje, ha terhes, szoptat, ha bármely összetevőére allergiás. Kisgyermektől elzárva, száraz, hűvös helyen tartandó!
Összetevők: Grapefruit mag és gyümölcs standardizált glicerines-vizes kivonata. Ajánlott adagolás: napi 3 x 6 csepp, alkalmanként 2 dl folyadékban higítva. Hatóanyag (mg)/napi adag (18 csepp): RDA*% Citrus bioflavonoid: 7, 5 mg - C-vitamin: 32, 4 mg 40, 5% Tárolás: fénytől védve, szobahőmérsékleten (15-25 o C) Nettó tömeg: 24 g Figyelmeztetés: Fogyasztása kisgyermekeknek, terhes és szoptató anyáknak, citrusfélékre érzékenyeknek nem ajánlott. A grapefruit mag egyik hatóanyaga gyógyszer metabolizáló enzimbénító hatású, ezért jelentősen növeli egyes gyógyszerek hatását. Gyógyszert rendszeresen szedők kérdezzék meg orvosukat a grapefruit mag alkalmazásával kapcsolatban. Higítatlanul soha ne használja, mert nyálkahártya irritációt okozhat! Az étrend-kiegészítő nem helyettesíti a kiegyensúlyozott, vegyes étrendet és az egészséges életmódot. Az ajánlott fogyasztási mennyiséget ne lépje túl! Kisgyermekek elől elzárva tartandó! OÉTI sz. : 11370/2012. Forgalmazza: BGB Interherb Kft., 1087 Budapest, Százados út 18.