A különböző alapú, egyenlő kitevőjű hatványok szorzására vonatkozó azonosság két irányban használható. Egyrészt ha a szorzásban szereplő két hatvány alapja különböző, akkor egy hatványkitevő alá hozhatók (); másrészt ha az alap szorzat alakú, akkor hatványok szorzataként írható fel (). Negatív, összetett szám alapú hatványok esetén az alap prímtényezőkre bontható, s mint szorzatot tényezőként hatványozhatjuk őket. Például. Itt is érvényes a negatív alapú szám hatványozása: ha páros a kitevő, a hatvány értéke pozitív, páratlan esetben pedig negatív. Az azonos kitevőjű tizedes tört alapú hatványok szorzásánál az alapok összeszorozhatók, míg a kitevő marad. Sok esetben a két tizedes tört szorzata egyszerűsíti az alapot. 7.1. Azonos alapú hatványok szorzása és osztása. Azonos kitevőjű törtszám alapú hatványok szorzásakor az alapok összeszorozhatók, míg a kitevő marad. Már azzal, hogy két tényező helyett csak egyet használunk, egyszerűsítettük a problémát, viszont sok esetben a tört is egyszerűsíthető. A (–1) és 1 alapú hatványok esetén is érvényes a különböző alapú, de egyenlő kitevőjű hatványok szorzatára vonatkozó azonosság.
Hatványozás azonosságai: 1. \( (a·b)^{n}=a^{n}·b^{n} \) Egy szorzatot tényezőnként is lehet hatványozni. 2. \( \left( \frac{a}{b} \right)^n=\frac{a^n}{b^n} \) Egy törtet úgy is hatványozhatunk, hogy külön hatványozzuk a számlálót és külön a nevezőt. 3. \( \left(a^{n} \right) ^{k}=a^{n·k} \) Egy hatványt úgy is hatványozhatunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük. 4. \( a^{n}·a^{m}=a^{n+m} \) Azonos alapú hatványokat úgy is szorozhatunk, hogy a közös alapot a kitevők összegére emeljük. 5. \( \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m} \) Azonos alapú hatványokat úgy is oszthatunk, hogy a közös alapot a kitevők különbségére emeljük. Bizonyítások: A bizonyításoknál a pozitív egész kitevőjű hatvány fogalmát alkalmazzuk. A hatványozás fogalmának kiterjesztésekor ezek az azonosságok továbbra is érvényben vannak. ( Permanencia-elv. Különböző alapú és különböző kitevőjű hatványok szorzása egész számmal. ) 1. (a⋅b) n =(a⋅b)⋅(a⋅b)⋅(a⋅b)⋅…. ⋅(a⋅b) n-szer a hatványozás definíciója szerint. A jobb oldali kifejezésben a szorzás kommutatív és asszociatív tulajdonsága alapján a tényezők más sorrendben írva: (a⋅b)⋅(a⋅b)⋅(a⋅b)⋅….
⋅(a⋅b)=(a⋅a⋅a⋅…⋅a)(⋅b⋅b⋅b⋅b⋅…. ⋅b) Ebben a szorzatban n-szer szorozzuk a-t és n-szer b-t. A hatványozás definíciója szerint ez = a n ⋅b n. 2. \( \left( \frac{a}{b} \right)^n=\frac{a}{b}·\frac{a}{b}·\frac{a}{b}·…·\frac{a}{b} \) n-szer a hatványozás definíciója szerint. A jobb oldali kifejezésben a törtekre vonatkozó szorzás és a szorzás asszociatív tulajdonsága szerint: \( \frac{a}{b}·\frac{a}{b}·\frac{a}{b}·…·\frac{a}{b}=\frac{a·a·a·a·…·a}{b·b·b·b·…·b} \) Itt a számlálóban n-szer szorozzuk a -t önmagával és a nevezőben pedig n-szer b-t. A hatványozás definíciója szerint ez = \( \frac{a^n}{b^n} \) . 3. (a n) k ==a n ⋅a n ⋅ a n ⋅ a n ⋅…. ⋅a n n-szer. Itt mindegyik tényezőt szorzat alakba írva: a⋅a⋅a⋅…. ⋅a⋅a⋅a⋅a⋅…. ⋅a⋅…. ⋅a⋅a⋅a⋅…⋅a. Ebben a szorzatban n⋅k-szor szerepel az a szorzótényezőül, ezért a hatványozás definíciója szerint= a n⋅k. 4. a n ⋅a m Írjuk szorzat alakba az a n -t és az a m -t is: (a⋅a⋅a⋅…. ⋅a)⋅(a⋅a⋅a⋅a⋅…. Matematika - 7. osztály | Sulinet Tudásbázis. ⋅a). Így n+m-szer szoroztuk össze önmagával az a -t. Ezért a hatványozás definíciója szerint: (a⋅a⋅a⋅….
Egy nullától különböző valós szám negatív egész kitevőjű hatványa egyenlő a szám reciprokának az egész kitevő ellentettjével vett hatványával. Nézzünk néhány példát! A 4 nulladik hatványa 1. A 4 első hatványa önmaga. A 4 négyzete 16. ${4^{ - 1}}$ (a 4 mínusz első hatványa) $\frac{1}{4}$. ${4^{ - 2}}$ (a 4 mínusz második hatványa) $\frac{1}{16}$. Ha megértetted a fogalmakat, nem nehéz a hatványokkal műveleteket végezni. Mivel egyenlő ${6^2} \cdot {6^3}$? Matek magyarázatok #2 | Azonos alapú hatványok szorzása és osztása - YouTube. (ejtsd: 6 a másodikon szorozva 6 a harmadikon) A definíció szerint felbontjuk a hatványokat. Hányszor szorozzuk össze a 6-ot? Pontosan $2 + 3$-szor, vagyis 5-ször. Mivel egyenlő ${6^4} \cdot {6^{ - 3}}$? (ejtsd: 6 a negyediken szorozva 6 a mínusz harmadikon) Láthatod, hogy itt is használhatjuk a definíció szerinti felbontást, ám az eredmény megint a 6-nak a két kitevő összegére emelt hatványa lesz. Általánosan is elmondható, hogy azonos alapú hatványok szorzásakor az alapot a kitevők összegére emeljük. A kitevő bármilyen egész szám lehet.
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!
⋅a)=a n+m 5. Azonos alapú hatványok osztásakor az \( \frac{a^n}{a^m} \) törtnél írjuk szorzat alakba a számlálót és a nevezőt is. \( \frac{a·a·a·a·…·a}{a·a·a·…·a} \) . Egyszerűsítés után n-m számú tényező marad és ez a hatványozás definíciója szerint a n-m alakba írható. Feladat: Egyszerűsítse a következő törtet! \( \frac{(ab)^2·(b^2)^3·a^4·b^7}{(a^2b)^3·(ab^3)^2} \) . A kifejezésnek csak akkor van értelme, ha a≠0, b≠0. (Összefoglaló feladatgyűjtemény 240. feladat. ) Megoldás: A hatványozás azonosságait használva először bontsuk fel a zárójeleket! \( \frac{a^2·b^2·b^6·a^4·b^7}{a^6·b^3·a^2·b^6} \) Mind a számlálóban, mind a nevezőben vonjuk össze az azonos alapú hatványokat! \( \frac{a^6·b^{15}}{a^8·b^9} \) Az azonos alapú hatványok osztására vonatkozó azonosság szerint a végeredmény = \( \frac{b^6}{a^2} \) Post Views: 87 900 2018-03-14 Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.
Másik példánkban osztani fogunk. Figyelj, a nevező sehol sem lehet 0! Nyolc mindkét hatványát szorzatra bontjuk, a törtet a számlálóban és a nevezőben is 4 darab 8-assal egyszerűsítjük. Az eredmény 64, amit megkapunk úgy is, ha a kitevőket kivonjuk egymásból. Ebben a példában legyen a kitevő azonos! Ekkor a számlálóban és a nevezőben az x-ek száma azonos, a tört értéke 1, ami egyenlő x a nulladikonnal. Ennél a feladatnál a nevező kitevője lesz nagyobb. A szétbontást ugyanúgy elvégezzük, majd egyszerűsítünk. Most a nevezőben marad három darab tizenegyes, ami ${11^{ - 3}}$. (ejtsd: tizenegy a mínusz harmadikon) Azonos alapú hatványokat úgy osztunk, hogy az alapot a kitevők különbségére emeljük. Hogyan hatványozzuk a hatványt? Kezdjük a belső kitevővel, a köbbel. Ezután a négyzet miatt megint önmagával szorozzuk, így a törtet már összesen hatszor írtuk le. Ez éppen a kitevők szorzatának felel meg. Ha negatív kitevő is szerepel a feladatban, hasonlóképpen járunk el. Nem kell több lépésben átalakítani, hiszen alkalmazható a szabály, mínusz háromszor kettő az mínusz hat.
Ajkuk mosolya édesen nevet, Szemükben az ég színe derengő, Otthon ma csilingel a csengő…" (Sándor Dénes) "Béke szálljon minden házra, Kis családra, nagy családra. Karácsonyfa fenyőága, Hintsél békét a világra! " (ismeretlen) "Kicsiny kunyhóban szeretet, Szeressétek a gyermeket, E szent karácsony ünnepén Önöknek ezt kivánom én. " (Karinthy Frigyes) Vallásos idézetek a karácsonyról "…amit a pásztor látott, azt mi is megláthatjuk, mert az angyalok minden karácsony éjjel fent lebegnek az égben, csak észre kell vennünk őket. Karácsonyi rövid idézetek fiuknak. És nem a gyertyáktól, nem a lámpáktól függ, nem a holdvilágtól, avagy a napfénytől függ, hanem az a legfontosabb, hogy olyan szemünk legyen, amely meglátja az Úr dicsőségét. " (Selma Lagerlöf) "Jézuska, Isten báránykája! csinálj csodát nekünk: az égből dobd le a kicifrált sok csalfa fényű csillagot! Csillag legyen kéklő szemecskéd, szíved szórjon ránk illatot s az angyalajkról ellesett dal legyen testvéri énekünk! " (Mécs László) "A kis Jézuska itt van a közelben, Legyünk hát jobbak, s higgyünk rendületlen S ne csak így decemberben. "
… Karácsonyi képeslapok idézettel Tovább olvasom Fiatalos karácsonyi idézetek gyűjteménye képekkel. Válaszd ki a kedvencedet és köszöntsd fel a barátaidat! Fiatalos … Fiatalos karácsonyi idézetek Tovább olvasom Gyönyörű karácsonyi idézetek képeslapra, ajándékkártyára, e-mailbe, sms-be. Nézd meg a gyűjteményt és válaszd ki a … Gyönyörű karácsonyi idézetek képeslapra Tovább olvasom Ajándék idézetek filmekből, híres emberektől. Megható és vicces idézetek a karácsonyi ajándékokról, ajándékozásról. Ajándék idézetek … Ajándék idézetek Tovább olvasom Rövid karácsonyi idézetek Nem az ajándék értéke számít, hanem a szeretet az ember szívében. A … Rövid karácsonyi idézetek Tovább olvasom A karácsony amellett, hogy a szeretetről és a meghittségről szól, rengeteg vicces szituációt is eredményez. … Vicces karácsonyi idézetek Tovább olvasom Válogass a karácsonyi szerelmes idézetek közül és köszöntsd fel szerelmedet! Szerelmes karácsonyi idézetek Tovább olvasom Karácsonyi idézetek gyerekeknek Ahogy a gyermekszív nagyon várja mikor libben angyalszárnya, úgy kívánok én is … Karácsonyi idézetek gyerekeknek Tovább olvasom Karácsony az angolszász országokban is az egyik legfontosabb ünnep.
A karácsonyfa a karácsony egyik legfontosabb kelléke. A családok közösen díszítik a karácsonyfát, az ajándékok … Karácsonyfa idézetek Tovább olvasom Különleges karácsonyi idézetek gyűjteménye képekkel filmekből, híres emberektől, íróktól. Különleges karácsonyi idézetek Karácsonykor varázsütésre csodák … Különleges karácsonyi idézetek Tovább olvasom Szívhez szóló karácsonyi idézetek képekkel híres emberektől, filmekből, íróktól. Szívhez szóló karácsonyi idézetek Szép Tündérország … Szívhez szóló karácsonyi idézetek Tovább olvasom Boldog karácsonyt idézetek képekkel. Nézd meg a boldog karácsony idézetek gyűjteményét és válaszd ki a … Boldog karácsonyt idézetek Tovább olvasom Karácsonyi idézetek a szeretetről képekkel íróktól, költőktől, híres emberektől. Nézd meg és válaszd ki a … Karácsonyi idézetek a szeretetről Tovább olvasom Advent, a karácsony előtti négyhetes készülődés időszaka. Az advent szó az Adventi Domini vagyis az … Advent idézetek Tovább olvasom Ha szeretnéd felköszönteni családtagjaidat, barátaidat, ismerőseidet, kollégáidat karácsony alkalmából, válogass a karácsonyi képeslapok idézettel gyűjteményünkből.
Ahogy a gyermekszív nagyon várja mikor libben angyalszárnya, úgy kívánok én is neked boldog karácsonyi ünnepeket! Hó alatt alszanak a házak, az egész világ csupa varázslat, S mint valami tündérálom, jön el hozzánk a karácsony. Halld a csengő szép szavát, Mily vidáman száll! Fényes titkok ajtaját Nyitja, nyitja már, Tárul ajtó, tárul szív, Zendül a szoba: Tündökölve ott virít A karácsonyfa! Csodás ünnep a karácsony, a földre eget varázsol, fenyőágon gyertya lángja, csillagot visz kisszobánkba. Mindenkinek kívánom, legyen szívében boldog karácsony! Kedves Télapó! Tavaly egy kishúgot kaptam tőled. Idén jobban örülnék valami hasznos dolognak. Idézet a Resszkessetek betörők c. filmből A karácsony akkor szép, hogyha fehér hóba lép, nem is sárba, latyakba… Ropog a hó alatta. Csanádi Imre Béke szálljon minden házra, Kis családra, nagy családra. Karácsonyfa fenyőága, Hintsél békét a világra! Jeles ünnep, szép zöld fenyő, csengő csilingel a fákon, legyen békés boldog ünnepetek, szívemből kívánom!